2024-2025学年福建省漳州市十校联盟高二下学期期中质量检测联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省漳州市十校联盟高二下学期期中质量检测联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.如图，函数的图象是线段，求的值为( )
A. B. C. D.
3.在四面体中，，，，，是线段上靠近点的三等分点，且，则( )
A. B. C. D.
4.厦门湾南岸漳州海岸线像一条珍珠项链，串联了一个个美丽的景点。现有甲，乙，丙三人从南炮台公园，卡达凯斯，镇海角，滨海火山口四个景点随机选择一个景点游玩，“三人选择的景点各不相同”，“三人至少有一人去了镇海角”，则( )
A. B. C. D.
5.已知定义在的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，底面，，，是线段中点，，则异面直线与所成角为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，若曲线与存在公切线，且公切线的斜率为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，平面，且，，三棱锥各顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，则( )
A. 的极小值为 B. 的对称中心为
C. 在区间上的最小值 D. 在处的切线方程为
10.袋子中有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之和为奇数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，则( )
A. 事件与是互斥事件 B.
C. D. 事件与相互独立
11.在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是侧面含边界内一动点，则( )
A. 在上的投影向量为
B. 若点为该正方体外接球球面上的点，则有无数个点，使得面
C. 过三点，，的截面面积为
D. 若，与平面所成的角为，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为 ．
13.在空间直角坐标系中，已知，，，，则当 时，，，，四点共面。
14.若，，且满足为自然对数的底数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、。环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为。现随机抽查一袋垃圾，求：
这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率
这袋垃圾存在违规混投的概率
若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率。
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，分别是，上的点，且，设，，，
试用，，表示向量，并求的长
求异面直线，所成角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，
讨论函数的单调性；
时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，为的中点，为上的动点，平面平面
证明：
若，，，线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为若存在，求的长若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数
求的极值
若，，为函数的两个零点，证明：参考：重要不等式
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，均可
13.
14.
15.解：设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件，，垃圾违规混投为事件，
由已知：，，
，，，
，
即中午时段且违规混投的概率为．

，
即违规混投的概率为．
，
即已知违规混投，垃圾来自晚上时段投放的概率为．
16.解：由题意，可得
，
又，，，
，
因为，
所以，
又因为，
所以，
，

设异面直线，所成角为，
因为，
又，，
所以，
又由，，，
所以
，
所以，，
所以异面直线，所成角的余弦值为．
17.解：因为，
所以，
当时，恒成立，
即在上单调递增；
当时，令，则，
令，得或，
令，得，
在，上单调递增，在上单调递减；
，不等式恒成立，
恒成立，
，
，
恒成立，
只需，
设，，
，，
则在单调递减，
，
，解得，
即的取值范围为
18.解：因为为中点，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，所以．
假设存在满足条件．
取的中点连接，因为，所以，
又因为平面，，所以，
又，，面， 所以面，
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，
建立空间直角坐标系

则，，，，
则，，
设，则，
，
设平面的法向量为
由，得
令，则，，所以，
又易知平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
由图像可知，为锐角，
所以
化简得，所以或舍去，
所以存在点，当时平面与平面的夹角的余弦值为．
19.解：因为函数的定义域为，且，
若，则，故函数在上单调递增，
所以函数既没有极大值，也没有极小值；
若，，当时，；当时，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值，其值为，但没有极小值；
由知，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
又当时，，且，
不妨设，则有，
故有，
由不等式，及，
可知
化简并整理得，
则．
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