2024-2025学年云南省昆明市第八中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明市第八中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从名女同学和名男同学中选人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
3.国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应某县有个自然村，其中有个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”现要从该县个自然村里选出个作宣传，则恰有个村是“旅游示范村”的概率为( )
A. B. C. D.
4.以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
5.随机变量的分布列如表格所示，若，，构成等差数列，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成对异面直线
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是( )
A. 展开式中奇数项的二项式系数和为 B. 展开式中第项的系数最大
C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为
11.已知函数，，下列说法正确的是( )
A. 当时，函数有两个极值点
B. 当时，函数在上有最小值
C. 当时，函数有三个零点
D. 当时，函数在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.名老师和名学生站成一排若老师不相邻，则不同排法种数为 用数字做答
13.某游泳队共有名队员，其中一级队员有名，二级队员有名，三级队员有名，若一、二、三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，，，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为 ．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯约公元前年至前年与欧几里得、阿基米德齐名，著有圆锥曲线论八卷书中介绍到：平面内两个定点，及动点，若且，则点的轨迹是圆后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，
求数列的通项公式
设为的前项和，求．
16.本小题分
已知函数在处取得极大值．
求的值
求在区间上的最大值．
17.本小题分
已知双曲线的左、右顶点分别为，，离心率为．
求双曲线的方程
为坐标原点，过点且斜率不为的直线交双曲线于，两点点在第一象限，点在第二象限，直线交双曲线于点，求．
18.本小题分
某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为合格品，小于为次品，现抽取这种元件件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数件
现从这件样品中随机抽取件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率
关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．
(ⅰ)若，证明：
(ⅱ)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信注：当随机事件发生的概率小于时，可称事件为小概率事件
19.本小题分
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，，若，证明：．
参考答案
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15.解：由，
有，又，
时，
，
当时，也满足，
数列的通项公式为；
由知，
．
16.解：由题意得的定义域为，
，
当时，，则在上单调递增，无极值，所以，
由得由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以为极大值点，即，则
由得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在上的最大值为．
17.解：由题意可得解得，，
所以双曲线的方程为．
设直线，点，，则
联立，得，
，．
，，
则
，
所以．
18.解：记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品，
，
，
由题：若∽，则，，
又，
所以或，
由切比雪夫不等式可知，，
所以
(ⅱ)设随机抽取件产品中合格品的件数为，
设厂家关于产品合格率为的说法成立，
则∽，
所以，
由切比雪夫不等式知，，
即在假设下个元件中合格品为个的概率不超过，此概率极小，
由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，
据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．
19.解：的定义域为，求导得，
直线的斜率为，
令，解得，不妨设切点，
则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”；
函数，求导得
显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，
设切点，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
令，求导得，
则函数在上单调递增，又，函数的零点为，
因此，
所以曲线的“双重切线”的方程为 ；
证明：设对应的切点为，
对应的切点为，
由，得，，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，
由及余弦函数在上单调递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得，
则在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即．

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