浙江省宁波市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市六校高一下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为 ( )
A. B. C. D.
2.在中，设，，，，则 ( )
A. B. C. D.
3.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. ，，；
B. ，，；
C. ，，，；
D. ，，，；
4.下面关于空间几何体的叙述：底面是正多边形的棱锥是正棱锥；有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；正四棱柱都是长方体；直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；平行六面体是六棱柱．其中叙述正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.在中，已知，，，则 ( )
A. B. C. D.
6.为了测量某一塔的高，小明在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿方向前进米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，那么此塔高约为 ，
A. B. C. D.
7.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图图中虚线分别与轴和轴平行，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，中，，，在所在的平面内，有一个边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转不少于周，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论中正确的是 ( )
A.
B. 与的夹角余弦值为
C. 与同向共线的单位向量是
D. 向量在向量上的投影向量为
10.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是 ( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，，则
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，，，则解的个数为
11.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥其中为顶点，为底面圆心，母线的长为，是母线上靠近点的三等分点．从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为下面说法正确的是 ( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为
C. 圆锥的外接球的表面积为
D. 棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，则________．
13.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标．设向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则________．
14.在中，内角，，对应的边分别为，，，若，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量．
若，求；
若，求向量与的夹角．
16.本小题分
已知复数是虚数单位，，且为纯虚数．
Ⅰ设复数，求；
Ⅱ设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
Ⅰ若，，则仓库的容积含上下两部分是多少？
Ⅱ若上部分正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
18.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知，，是的三个内角，，的对边，且________．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求锐角的周长的取值范围．
19.本小题分
对于三维向量，定义“变换”：，其中，，记，．
Ⅰ若，求及；
Ⅱ已知，，
(ⅰ)求，的值；
(ⅱ)将再经过次变换后，最小，求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：因为，
所以，
即，
则，
即，
所以，
所以，
所以；
由题意可得
又因，所以，
解得，
所以，
所以，
即，
又因为，
所以．
16.解：，．
．
又为纯虚数，
，解得，
．
Ⅰ，
；
Ⅱ，
，
又复数所对应的点在第一象限，
，解得：．
17.解：，正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
，
所以仓库的容积，
若正四棱锥的侧棱长为，设，
则，，，
正四棱柱侧面积，
，
当且仅当，即时，，
所以当时，正四棱柱侧面积最大，最大为．
18.解：选，由，
可得，
因为及正弦定理，可得，
所以，整理得，
则，因为，所以．
选，由，可得，即，
因为，可得，所以，即．
选，由，由正弦定理得，
即，
即，
整理得，
因为，，可得，即，
因为，所以．
由，，可得，
所以周长，
又由，可得，
，
又因为是锐角三角形，所以，可得，所以，
所以，所以的周长的取值范围为．
19.解：Ⅰ因为 ， ， ，
所以 ．
Ⅱ设 ，因为 ，
所以有 或 ．
当 时，可得 三式相加得 ．
又 ，可得 ．
当 时，也可得 ，于是 ．
(ⅱ)设 的三个分量为 这三个数，
当 时， 的三个分量为 这三个数，
所以 ．
当 时， 的三个分量为 ，
则 的三个分量为 的三个分量为 ，
所以 ．
所以，由 ，可得 ．
因为 ，所以任意 的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于．
所以 的三个分量只能是 三个数，
的三个分量只能是 三个数．
所以当 时， ；当 时， ．
所以 的最小值为．

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