浙江省新力量联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省新力量联盟高一下学期4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量， ，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是( )
A. B.
C. D.
5.在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，则( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7.设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”是一个向量，它的模，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 与平行 D. 直线与共面
10.已知复数，，下列结论正确的有( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
11.已知内角，，所对的边分别为，，，内一点满足与交于点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，的面积
13.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点分别测得树尖的仰角为，，且，两点间的距离为，则树的高度为
14.在中，，，，为内一点，且，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与的夹角为，且，．
求和
求向量与向量的夹角．
16.本小题分
正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
求四棱锥的表面积
求四面体的体积．
17.本小题分
在复平面内复数，，其所对应的点分别为，，为坐标原点，是虚数单位．
求
当为何值时，关于的二次方程有一个实根．
18.本小题分
已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且．
求
若
(ⅰ)求周长的取值范围。
(ⅱ)当周长最大时，设点为边的中点，点在边上包括端点，求的最小值。
19.本小题分
据报道，年月日，正值全民国家安全教育日，田湾核电号机组穹顶球冠吊装成功如图，标志着国内最重核电机组薄壳钢村里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分不包含截面，垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高球冠面积等于截得它的球面上大圆过球心的截面圆周长与球冠的高的乘积和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”如图当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”如图，设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为．
类比球体积公式的推导过程可参考图，写出“球锥”的体积公式
在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值
已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：向量与的夹角为，且，，
．
；
设向量与向量的夹角，
，
，，向量与向量的夹角为．
16.解：取的中点，连接，，，
所以，，
因为，所以，
所以，
，
所以四棱锥的表面积为
因为，，
所以，
又为上靠近的三等分点，
所以，．

17.解：，，，，，
，
；
设是二次方程的一个实根，
将，，代入方程得：，
由复数相等的意义得
解得：，，，
所以当时，原方程有一实根．
18.解：．
由正弦定理得．
在中，，C.
代入上式化简得：．
因为，所以，即．
为锐角，．
由正弦定理得，，
所以
是锐角三角形，
，，，
，，
即，，
所以周长的取值范围为．
当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，
由题意可知，，，
设，，
则，，
所以，
当时，取最小值，
所以的最小值是．
19.解：“球锥”的体积公式为
设圆锥半径为，则，
当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，
即，消去，得，
整理得，因为，所以．
设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为，则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件．
注意到，当顶点，，在圆锥底面圆周上时，，，得，当时，
作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”．
因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点，，在球冠上．
即，且又因为，所以．
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