北师大版八年级数学下册 4.1因式分解 题型分类试题（含解析）

4.1因式分解小节复习题
【题型1 整式乘法与因式分解的关系】
1.已知是的一个因式，则 ．
2.若多项式因式分解后结果是，则的值是 ．
3.已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则 ..
4.在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 .
【题型2 利用因式分解求值】
1.已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，，则代数式的值为（ ）
A． B．30 C． D．
3.若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ．
4.若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【题型3 利用因式分解进行简便运算】
1.= ．
2.利用因式分解计算：
(1)； (2)；
(3)．
3.计算： ．
4.利用因式分解简便计算：
(1)； (2)．
【题型4 利用因式分解解决整除问题】
1.小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
(1)观察老师的演算后，你认为　　　同学的想法是对的；
(2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
(3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
2.若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（ ）
A． B．1 C．2 D．5
3.已知：是11的倍数，其中a，b是整数，求证：能被121整除．
4.试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．
【题型5 利用因式分解确定三角形的形状】
1.已知等腰三角形的三边长、、均为整数，且满足，则这样的三角形共有 个．
2.为三角形三边长，，则该三角形形状为 .
3.若三角形的三边长分别为、、，满足，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
4.若的三边、、满足，则这个三角形是 ．
【题型6 因式分解的实际应用】
1.学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
2.如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的面积是（ ）（不计接缝）
B．
C． D．
3.龙龙设计了一个翻牌游戏：现有对应着编号为的150张数字牌，牌分为“正面”和“反面”两种状态，每翻一次改变相对应数字牌的状态，所有牌的初始状态为“反面”．第1次把所有编号是1的整数倍的数字牌翻一次，第2次把所有编号是2的整数倍的数字牌翻一次，第3次把所有编号是3的整数倍的数字牌翻一次，，第150次把所有编号是150的整数倍的数字牌翻一次．问最终状态为“正面”的数字牌共有（ ）
A．9张 B．10张 C．11张 D．12张
4.根据素材，完成任务．
利用现有木板制作长方体木箱问题
素材1 如图长方体木箱的长、宽、高分别是厘米、厘米、b厘米．
素材2 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．
问题解决
任务1 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积．
任务2 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？
任务3 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值．
【题型7 利用整体思想进行因式分解】
1.先阅读材料，再回答问题：
分解因式：．
解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解：_______．
(2)因式分解：_______．
(3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由．
2.阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，
即：．∴．
阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：令，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值；
(2)请根据材料B，解答问题：
①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______；
②因式分解：．
(3)综合运用：
若实数x满足，求的值．
3.小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法：
因式分解：
解：原式
设
∴原式
小福和组内同学分享学习心得时总结：
当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解．
另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式．
小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试
请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：．
4.整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下：
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
．
【题型8 因式分解中的新定义问题】
1.对于正整数，若（，且为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定如：12的分解有，，，其中，为的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是（ ）
A． B． C． D．
2.定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
3.设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.每个人都拥有一个快乐数字，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数字．比如我国著名的数学家华罗庚出生于年，他的快乐数字是．
(1)某人出生于年，他的快乐数字是______；
(2)你再举几个例子并观察，这些快乐数字都能被______整除，请你用所学知识说明你的猜想．
(3)请你重新对快乐数字定义，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用证明）．
【题型9 利用添项进行因式分解】
1.运用添项法分解因式：．
2.(1)；(2)．
3.运用添项法分解因式：分解因式．
4.运用添项法分解因式：
(1)； (2)．
【题型10 利用拆项进行因式分解】
1.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
如：．
②拆项法：
如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法；
②用拆项法；
(2)已知、、为的三条边，，求的周长．
2.运用拆项法因式分解：；
3.利用拆项法分解因式：．
4.利用拆项法分解因式：
(1)；(2)； (3)．
参考答案
【题型1 整式乘法与因式分解的关系】
1.
【分析】设另一个因式是根据多项式乘多项式法则求出 ，根据多项式乘多项式得出，再求出答案即可．
【详解】解：设另一个因式是
则，
，
∴，
解得．
故答案为：．
2.
【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键．
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
【详解】解：，
∴，
解得．
故答案为：．
3.
【分析】利用十字相乘的方法确定出a的值即可．
【详解】解： 或
所以
故答案为.
4.
【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝﹣6；
（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看错了n的值，
∴m＝﹣1．
∴x2+mx+n
＝x2﹣x﹣6
＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
【题型2 利用因式分解求值】
1.D
【分析】先对已知等式进行变形，然后对所求式进行因式分解，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
故选：．
2.C
【分析】本题考查因式分解的应用，将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
；
故选C．
3.或
【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案．
【详解】解：设，
，
，
解得，或
或．
故答案为：或．
4.D
【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，
本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
【题型3 利用因式分解进行简便运算】
1.
【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：．
2.（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
3.55
【分析】运用因式分解得原式=.
【详解】
=
=19+15+11+7+3
=55
故答案为：55
4.（1）解：
（2）解：
【题型4 利用因式分解解决整除问题】
1.（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
．
（3）解：根据题意得：
∴，，
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，．
2.C
【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被4整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可得答案．
【详解】解：
．
∵的值总能被4整除，n为任意整数，
∴总能被整除．
整数k为、1、5均满足条件，故选项A、B、D不符合题意，
整数k为，，不能满足n为任意整数时的值总能被4整除，
故选：C．
3.设，则，
．
故能被121整除．
4.解：这个数是三位数，
百位数字不能为，故分两种情况：①个位数字为；②个位数字不为；
①当个位数字为时，设这个三位数为，为0－9之间的整数，
交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，
，
∵是整数，
∴能被11整除；
②当个位数字不为时，设这个三位数为，为0－9之间的整数，
交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，
，
∵是整数，
∴能被11整除．
【题型5 利用因式分解确定三角形的形状】
1.3
【分析】先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合，讨论是否符合题意即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵等腰的三边长、、均为整数，
∴a+b，c+1为大于或等于2的正整数，
那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，
①a+b =2，c+1 =12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；
②a+b =3，c+1 =8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；
③a+b =4，c+1 =6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；
④a+b =6，c+1 =4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；
⑤a+b =8，c+1 =3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形；
⑥a+b =12，c+1 =2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形．
∴一共有3个这样的三角形．
故答案是：3．
2.等腰三角形
【分析】把等式左边的多项式因式分解，可知，进而，可得到答案.
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∵
∴，即a=b，
∴该三角形是等腰三角形.
故答案是：等腰三角形.
3.D
【分析】首先将原式变形为，可以得到或或，进而得到或．从而得出△ABC的形状．
【详解】∵，
∴，
∴，
即，
∴或或(舍去)，
∴或，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：D．
4.等腰三角形
【分析】对等式前两项利用平方差公式进行因式分解，而后两项提出公因式，然后再进一步因式分解观察即可.
【详解】∵，
∴．
∴．
∵、、是的三条边，
∴，
∴，即，
∴为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
【题型6 因式分解的实际应用】
1.解：设原队列有m人，
增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.
根据题意得：
：
，解得，
∴；
，解得，
∴；
，解得，
∴；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人
2.A
【分析】本题考查列代数式，代数式加减，因式分解的应用，油画的边长已知，加框后边长增加，加框后的面积减去画的面积就是边框所需木板面积．解题的关键要熟练运用平方差公式化简所列出的代数式．
【详解】解：∵
，
∴制作边框的面积是．
故选：A．
3.D
【分析】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．所有牌的初始状态为“反面”，翻奇数次，则状态为“正面”，翻偶数次，则状态为“反面”，再根据因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，即可求解．
【详解】解：所有牌的初始状态为“反面”，翻奇数次，则状态为“正面”，翻偶数次，则状态为“反面”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144；有12个数，故有12张牌被翻奇数次，为“正面”的状态；
故选：D．
4.任务一：
解：由题意得：甲木板面积：平方厘米，
乙木板面积：平方厘米，
丙木板面积： 平方厘米；
任务二：由题意可得：
，
解得：，
∴甲、乙、丙三块木板的面积和为
；
任务三：由题意可得：，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
箱子侧面积为：，
箱子表面积为：；
∴箱子侧面积与表面积的比值为
；
【题型7 利用整体思想进行因式分解】
1.（1）
，
故答案为：；
（2），
，
，
故答案为：；
（3）
令，
则原式，
，
，
原式．
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个正整数的平方．
2.（1）解：，，
，
，
，
，
；
（2）①设，
原式
，
故答案为：；
②；
（3）设，，
，
实数满足，
，
，
，
，
，
，
．
3.（1）
设，
∴原式
；
（2）
设，
∴原式
．
4.（1）①该同学没有完成因式分解；
设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
．
∴最后的结果为．
②设，
原式
．
；
（2）设，，
则，
，
原式
．
【题型8 因式分解中的新定义问题】
1.C
【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意，分别找到时，根据新定义逐项分析判断，即可求解．
【详解】A、当时，，，故该选项不符合题意；
B、当时，，，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、当时，，，故该选项不符合题意；
故选：C．
2.
【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可．
【详解】解：由题意得，当，时，
，
，
，
故答案为：．
3.A
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
A．，，故推断正确；
B．，，故推断不正确；
C．，，故推断不正确；
D．，，故推断不正确．
故选：A．
4.（1）解：由题知，
，
即他的快乐数字是，
故答案为：；
（2）例如：，其快乐数字为：，
又如：，其快乐数字为：，
∵，，
发现：这些快乐数字都能被整除．
理由：令这个四位数为：，
∴
，
∴此代数式是的倍数，
∴猜想正确；
（3）令这个四位数为：，
∴
，
∴此代数式是的倍数，
定义如下：
若一个四位数的千位数字与十位数字相等，个位数字与百位数字相等，则称这个数为“快乐数字”．
发现的规律是：“快乐数字”能被整除．（答案不唯一）．
【题型9 利用添项进行因式分解】
1.解：
．
2.（1）解：
；
（2）解：
．
3.解：
4.（1）原式
；
（2）原式
.
【题型10 利用拆项进行因式分解】
1.（1）①
；
②
．
（2）根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
故的周长为．
2.
3.解：
，
，
，
．
4.（1）解：
；
（2）
（3）