人教版九年级数学下册 第26章 反比例函数 章节知识点 题型分类试题（含解析）

第26章《反比例函数》章节知识点复习题
【题型1 反比例函数的识别】
1.对于物理学中的库仑定律，我们给出以下公式：．其中为点电荷、之间的作用力大小，为常数，为点电荷所带的电量，为点电荷所带的电量，为两个点电荷之间的距离．若两个点电荷、的电量均为已知，且把整体看作变量，则下列说法正确的是（ ）
A．当增大时，随着的增大先减小再增大；
B．当增大时，随着的增大而增大；
C．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的反比例函数；
D．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的正比例函数．
2.下列函数中，不是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
3.河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
4.下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 反比例函数定义的应用】
1.若函数是y关于x的反比例函数，则 ．
2.若函数是反比例函数，则的值是 ．
3.当m取何值时，函数是反比例函数？
4.已知函数，
(1)当m，n为何值时是一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数？
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】
1.已知反比例函数的图像经过点.
（1）求与的函数关系式；
（2）求当时，的值；
（3）这个函数的图像在哪几个象限？随着的增大怎样变化？
（4）点、在此函数的图像上吗？
2.已知反比例函数．
求：
（1）关于的函数解析式；
（2）当时函数的值．
3.已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
4.（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式；
（2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值．
【题型4 反比例函数性质的应用】
1.如图，在平面直角坐标系中，RtABO的边AO在x轴上，且AO＝2．一个反比例函数y＝的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，则点P的坐标为 ．
2.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的从小到大的关系是 ．
3.已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象C与函数的图象交于点；②点在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4，④，是图象C上任意两点，若，则．其中真命题是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④
4.已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ．
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】
1.如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2.如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
3.如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则 ．

4.如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（　　）

A． B． C．4 D．
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】
1.心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分．
(1)求所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
3.综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量
素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ．
(1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证．
(2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．
4.小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】
1.在同一坐标系中，函数与的图像大概是（ ）
A．B．C．D．
2.已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
3.一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4.若函数和函数的图象在同一坐标系中，则其图象可为下图中的（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】
1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围．
2.如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为，点为双曲线上的一点．
(1)求的值及反比例函数的表达式；
(2)如图1，当点的横坐标为4时，判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，当时，求点的坐标．
3.如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为．
(1)求点的坐标与反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围；
(3)将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线平移后的函数表达式．
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．

(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围．
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】
1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
(3)若点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，连结，将绕点O逆时针旋转90度得到，点M在第二象限，随着点Q的运动，点M的位置也不断变化，但始终在某函数图象上运动，请直接写出这个函数解析式．
2.如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F．
(1)求m和k的值．
(2)求点D的坐标．
(3)连接，求的面积．
3.如图，点P是反比例函数图象上的一点．过点P分别作x轴、y轴的平行线，分别与y轴、x轴交于点D、E，与经过点的双曲线交于点A，B，连接．
(1)求k的值；
(2)连接．若点P横坐标为2，求的面积；
(3)若直线分别与x轴，y轴交于点M，N，求证：．
4.如图1，已知直线分别与双曲线，交于，两点，且点的横坐标、纵坐标分别是点的横坐标、纵坐标的2倍．

(1)求的值；
(2)如图2，若是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线于，两点，连接，设点的横坐标为．
①直接写出，，的坐标，并求的面积；
当时，为直线上的一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】
1.如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y8的值为（ ）

A． B．6 C． D．
2.如图，已知反比例函数 的图象上有一组点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为．“①，②，③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ．
3.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴与轴正半轴分别交于点、，设，（，）．将绕点顺时针方向旋转得到，点的对应点为点；再将沿射线方向平移，使点与点重合得到，点的对应点为点，点在轴上，点为线段的中点，点与点恰好落在同一个反比例函数的图象上．
(1)当时，求反比例函数的解析式．
(2)求的值．
(3)若线段、交于点，且的面积为，求的值．
4.如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
参考答案
【题型1 反比例函数的识别】
1.D
【分析】本题考查了函数关系式：反比例函数与正比例函数的判断；根据两类函数的定义即可进行判断．形如的函数分别称为反比例函数与正比例函数，其中k为常数．
【详解】解：当两个点电荷、的电量均为已知时，F关于t是反比例函数，当r增大时，t也增大，此时F随t的增大而减小，故A、B均错误；
当已知，为自变量，为因变量，此时，则为关于的正比例函数，故C错误，D正确；
故选：D．
2.B
【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数．
【详解】、是反比例函数，此选项不符合题意；
、是一次函数，不是反比例函数，此选项符合题意；
、是反比例函数，此选项不符合题意；
、是反比例函数，此选项不符合题意；
故选：．
3.D
【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键．
根据图象对每一个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意；
D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量 的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
4.C
【分析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案．
【详解】解：C中，，其余的都不具有这种关系
C是反比例函数关系，故C正确；
故选：C．
【题型2 反比例函数定义的应用】
1.5
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可．
【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数，
∴且，
解得，．
故答案为：5．
2.
【分析】本题考查反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数就叫做反比例函数，解题的关键是根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得：，
∴的值为．
故答案为：．
3.∵函数是反比例函数，
∴2m+1=1，
解得：m=0．
4.（1）解：当函数是一次函数时，，且，
解得：且；
（2）当函数是正比例函数时，，
解得：．
（3）当函数是反比例函数时，，
解得：．
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】
1.（1）∵反比例函数的图像经过点，
∴5=，
解得k=-10，
∴反比例函数的解析式为：y=.
（2）∵反比例函数的解析式为：y=，
∴当y=-4时，-4=，
解得：x=.
（3）∵-10<0，
∴反比例函数y=的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；
（4）∵×20=-10，×1=≠-10，
∴点在此函数的图象上，点不在此函数的图象上.
2.解：（1）根据题意，得
，
解得，；
∴该反比例函数的解析式是；
（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是，
∴当时，，即．
3.解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x+1）+ ．
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
4.解：（1）点A在第二象限，
∴，
解得：，
∵m为整数，
∴，
∴，
设过点A的反比例函数解析式为，
∴，解得：，
即反比例函数解析式为；
（2）∵反比例函数图像在二、四象限，
∴，即，
∵正比例函数 过一、三象限，
∴，
解得：，
∴，
∴整数的值为2．
【题型4 反比例函数性质的应用】
1.或或
【分析】求得B的坐标，然后根据题意得点P横纵坐标的绝对值是2和3或3和2，由此可得出答案．
【详解】解：Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2，
∴B的横坐标为﹣2，
把x＝﹣2代入 得，y＝3，
∴B（﹣2，3），
∵图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，
设点，
∴或，
∵反比例图像在二四象限，
∴x与y异号，
∴点P的坐标为：，
故答案为：或或．
2.
【分析】本题考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵，，
∴点，位于第二象限，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴点位于第四象限，
∴，
∴
故答案为：．
3.A
【分析】根据轴对称的性质和图象点的特征可知①正确；根据点关于y=2的对称点坐标在函数图象上，即可判定②正确；由上任意一点为，则点与对称点的纵坐标为可判断③错误；由关于对称点性质可判断④不正确；
【详解】解：点，是函数的图象的点，也是对称轴直线上的点，
∴点，是图象与函数的图象交于点；
①正确；
点，关于对称的点为点，，
，在函数上，
点，在图象上；
②正确；
中，，
取上任意一点为，
则点与对称点的纵坐标为；
图象C上的点的纵坐标不一定小于4.故③错误；
，，，关于对称点为，，，在函数上，
，，
若，则；
若或，则；
④不正确；
故选．
4.
【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答．
【详解】∵，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵，
∴异号，
∵点，在反比例函数（是常数）的图象上，
∴A点在第三象限，B点在第一象限，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】
1.D
【分析】过的中点作轴交轴于，交于，作轴于，如图，先根据“”证明，则，得到，再利用得到，然后根据反比例函数系数的几何意义得，再去绝对值即可得到满足条件的的值.
【详解】过的中点作轴交轴于，交于，作轴于，如图，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
而，
.
故选：.
2.D
【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论．
【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点，
∴D点坐标为，
∴，即反比例函数解析式为，
∴，
∴的面积，
∵点D为的中点，
∴的面积．
故选：D．
3.7
【分析】设与轴交于点，连接，由平行四边形的性质可得，，根据三角形的面积公式可得，，由，，可得，由的几何意义进行计算即可得到答案．
【详解】解：设与轴交于点，连接，如图所示，

四边形是平行四边形，
，，
，
轴，
轴，，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：7．
4.D
【分析】连接，过点和点分别作轴的垂线段和，根据全等三角形的判定可得，推得；根据三角形的面积可得，，推得，求解即可，注意．
【详解】
解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图：

∴，
又∵，，
∴；
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
解得：（正数舍去），
故选：D．
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】
1.（1）解：由题意，设所在反比例函数的解析式为
过点，
，
．
（2）解：老师安排不合理，理由如下：
由题意，设
∵直线过点和
解得，，
令，
，
令，
，
老师安排不合理．
2.（1）设，
将代入，得，解得，
∴所求函数的表达式为；
（2）∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小．
当时，．
∴为了安全起见，气体的体积应不小于．
3.（1）解：连线如下图所示：
反比例函数；
设 y关于x的函数表达式为 ，
把代入函数表达式得，解得，
∴y关于x的函数表达式为 ．
把代入函数表达式，得， 成立．
（2）解：当时, 即, 解得．
则．
所以空矿泉水瓶的质量为．
4.（1）解：由图象可知，当时是一次函数，
设将代入得：
，
解得，
∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：；
（2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为，
依据题意得：，解得，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
解得：；
（3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，
经历时间为分钟，
，
∴当时，，
答：饮水机内水温约为，共有6次达到．
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】
1.C
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数图像性质，熟练掌握两个函数图像与系数之间的关系是解题的关键；
一次函数与反比例函数的图像与系数的符号有关，所以分与两种情况进行讨论；当可以得出与所在的象限以及可以得出与所在的象限，进而求解即可．
【详解】根据题意需分、两种情况讨论：
当时，的图像在第一、三象限，的图像在第一、三、四象限，只有选项C符合；
当时，的图像在第二、四象限，的图像在第二、三、四象限，无选项符合；
故选C．
2.A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数的图象经过第一、三象限，
故选：A．
3.C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象和性质，先根据一次函数图象确定的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可求解，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解题的关键．
【详解】解：、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象相符，故该选项符合题意；
、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴，，
∴，
∴反比例函数图象经过一、三象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
故选：．
4.C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出取值，然后在判断一次函数的图象与轴的交点，最后判断反比例函数图象所在象限即可；关键是由的取值确定一次函数的图象与轴的交点位置．
【详解】解：①：一次函数图象是随的增大而增大，则．与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故错误，不符合题意；
②：一次函数图象是随的增大而增大，则．与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故正确，符合题意；
③：一次函数图象是随的增大而减小，则，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故正确，符合题意；
④：一次函数图象是随的增大而减小，则，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故错误，不符合题意；
故：②③正确，
故选：C．
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】
1.（1）解：在一次函数的图象上，
，
解得，
点的坐标为，
，
反比例函数的对应的函数关系为；
（2）解：当时，，
解得，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，根据对称性，
点的坐标为，
；
（3）解：由图象可得，
当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面
∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或．
2.（1）解：直线过点，
，解得：，
直线的表达式为．
点在直线上，
，
点的坐标为．
又双曲线过点，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：为直角三角形，理由如下：
点在上，且点的横坐标为4，
点的纵坐标为，
即点
，
，
，
为直角三角形；
（3）解：如图（2），过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点．
又
轴，
又
，
易得，
设的函数解析式为
即
的函数解析式为
联立，
即，
，
即．
3.（1）解：把代入得，，
∴点的坐标为，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵点是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点关于原点对称，
∴，
由图象可得，当或时，；
（3）解：设，则，
∵的面积为，
∴，
即，
∴，
∴，
将直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入得，
，
∴，
∴直线平移后的函数表达式为．
4.（1）解：反比例函数的图象分别与交于点和点，
，
反比例函数的表达式为
四边形是矩形，
，，
点，且点为的中点．
，
∴点D的横坐标为3，
在中，，
；
（2）解：当直线经过点时，则，
解得；
当直线经过点时，则，
解得；
∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合）
∴．
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】
1.（1）点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）对于，当时，，
∴，
，
∵，

过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
（3）∵点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，
∴将绕点O逆时针旋转90度后，点Q的对应点M也在反比例函数图象上运动，
如图，设的对应点为，作于点E，作于点F，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
设点M所在的反比例函数解析式为，
∴，
∵点M在第二象限，
∴这个函数解析式是．
2.（1）解：∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴，解得：．
（2）解：如图：过点A作轴于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∴.，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵直线与反比例函数的图像交于点和点B，
∴点B的坐标为，
∵，
∴.
3.（1）解：∵点的双曲线上，
∴，
解得：；
（2）过点A作轴于点F．
∵点P的横坐标为2，
∴，
∴点P的坐标为．
同理可得．
∵点A，B都在反比例函数的图象上，
∴
∴
．
（3）过点B作轴于点G．
设点P，则点A，B．
设直线函数关系式为．
∴
解得：
∴直线的函数关系式为．
当时，，当时，，解得：；
，
∴，．
∴，
，
∴，．
∵，
∴，
∴．
4.（1）解：设Q点坐标为，则P点的坐标为．
∵P点在双曲线上，Q点在双曲线上，
∴，则，
∴．
（2）解：①∵A点的横坐标为t，轴，轴，
∴A点坐标为，C点坐标为，B点坐标为，
∴，，
∴．
②分两种情况考虑：
（Ⅰ）当为边时，如图1所示．

∵四边形为平行四边形，∴，，
∴D点的坐标为，
∴，即或，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴A点的坐标为或；
（Ⅱ）当为对角线时，如图2所示．

∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴D点的坐标为，
∴，即或 ，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴A点坐标为或．
综上所述，点A的坐标为（2，4）或（2，）或（，4）．
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】
1.C
【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【详解】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…

其斜边的中点C1在反比例函数y=，
∴C1（2，2），即y1=2，
∴OD1=D1A1=2，
设A1D2=a，则C2D2=a 此时C2（4+a，a），代入y=，得：a（4+a）=4，
解得：，即：y2=；
同理：y3=；
y4=；
……
；
∴y1+y2+…+y8=
=
=
=；
故选：C.
2.
【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解．
【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，
又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为，
∴，
，
，
，
……
∴，,……，
∴
，
故答案为：．
3.（1）解：过点作轴于点，
由题意可得，，轴，轴，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，，
∴，
∴，
设反比例函数的解析式为，
把，代入得
，，
∴，
解得（舍去）或，，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，
由题意可得，，轴，轴，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，，
∴，
∴，
设反比例函数的解析式为，
把，代入得
，，
∴，
解得（舍去）或，，
∴；
（3）解：由（）得，，，，
∴，，，，
∴，
连接，，，则轴，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴轴，，
∵轴，
∴、、三点共线，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴为的中点，
∴，
∵，，，
∴，
解得或（舍去）．
4.解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴点B的纵坐标为1，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
……，
以此类推可知，，，
∴，
故答案为：．