中小学教育资源及组卷应用平台
难题突破专题十一 数学文化
数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．
类型1 以科技或数学时事为题材
例题1：（2025年湖北孝感模拟）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．
【答案】
【分析】如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可．
【详解】如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数
则大正方形的面积为
小正方形的面积为
设
则
又，即
解得或（不符题意，舍去）
将代入得：
两边同除以得：
令
则
解得或（不符题意，舍去）
即的值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键．
例题2：项目化学习
项目主题：优化大豆种植密度
项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系
研究步骤：
（1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种；
（2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计；
（3）数据分析，形成结论．
试验数据：
试验田编号 1 2 3 4 5 6
单位面积试验田种植株数x（株） 30 40 50 60 70 80
单株的平均产量y（粒） 51 46 41 36 31 26
问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务：
（1）根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为（）；
（2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积实验田中大豆植株种植数量的方案．
【答案】（1）一次，
（2）当单位试验田种植株数为66株时，可使大豆总产量最大
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，
根据单株的平均产量变化幅度可以确定为一次函数，利用待定系数法即可求得函数解析式；
设单位面积试验田中大豆总产量为w粒，结合得，根据二次函数的性质即可求得其最大值．
【小问1详解】
解：由表格数据，单位面积实验田种植大豆株数每增加10株，单珠的平均产量减少5粒，
∴单株的平均产量是种植株数的一次函数；
设一次函数解析式为，
则，解得，
则一次函数的解析式为；
故答案为：一次，；
【小问2详解】
解：设单位面积试验田中大豆总产量为w粒，
根据题意，
由（1）得，，
所以，w与x的函数关系式为
因为，所以w有最大值．
∵，
当时，w最大．
所以，当单位面积试验田种植株数为66株时，可使大豆总产量最大．
类型2 以数学名著为题材
例题3：（2025年四川内江模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
分析】设索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
【详解】设索为尺，杆子为()尺，
根据题意得：()．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
例题4：（2018浙江嘉兴，7，3） 欧几里得的《原本》记载．形如的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取．则该方程的一个正根是（）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【答案】B
【解析】利用配方法解方程x2+ax＝b2，得到，解得：，根据勾股定理知道，BD＝，所以根据图形知道AD＝AB－BD，即AD的长是方程的一个正根，故正确答案为B．
类型3 以数学名人为题材
例题5：（2025年泸州模拟）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
相关内容训练
1.（2025年无锡模拟）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺．
【答案】8
【分析】
先设绳长x尺，由题意列出方程，然后根据绳长即可求出井深．
【详解】解：设绳长x尺，
由题意得x-4=x-1，
解得x=36，
井深：×36-4=8（尺），
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．
2. （2025年四川成都模拟）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________．
【答案】
【分析】设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解．
【详解】设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
3. （2020年扬州）.《九章算术》是中国传统数学重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
【答案】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
4. （2018浙江温州，10，4）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，求该矩形的面积.
,
【思路分析】设矩形的两条边长为x,y利用对角线是a+b=7,所以x2+y2=49,再利用分割成一个正方形和两对全等的直角三角形所以x-y=1用完全平方公式得xy的值即为矩形的面积
【解题过程】设矩形的两条边长为x,y利用对角线是a+b=7,所以x2+y2=49,再利用分割成一个正方形和两对全等的直角三角形所以x-y=1用完全平方公式得（x-y）2=1，x2-2xy+y2=1,49-2xy=1, -2xy=-48,所以xy=24即为矩形的面积为24所以答案为24
5. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形得到，通过为等边三角形，证明，即可判断①；，根据三角形内角和定理得，进而即可判断②；根据“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成的，得到，即可判断③．
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质
【详解】由题可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴M是的中点；①正确．
∵，
∴，
∴，
∴平分，②正确．
∵，，
∵，，
∴，③错误．
故选：A．
6. 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ）
A．5 B．4 C． D．
【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．
【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴===，
∵DQ=1，
∴FQ=，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+，
故选D
7. （2025年随州模拟）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①_______；
②与的关系为_______，与的关系为_______．
【答案】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；（2）①3，②结论；（3）①，②， ．
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，；
②由，则，同理可得，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．
【详解】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，
化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简．
（2）①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
，，，
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
（3）①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M，
∴，，，
∴
故答案为：；
②∵，
∴，，
由解直角三角形和正方形的性质，则
，，
∴；
同理：；
；
；
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
难题突破专题十 数学文化
数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．
类型1 以科技或数学时事为题材
例题1：（2025年湖北孝感模拟）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．
例题2：项目化学习
项目主题：优化大豆种植密度
项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系
研究步骤：
（1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种；
（2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计；
（3）数据分析，形成结论．
试验数据：
试验田编号 1 2 3 4 5 6
单位面积试验田种植株数x（株） 30 40 50 60 70 80
单株的平均产量y（粒） 51 46 41 36 31 26
问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务：
（1）根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为（）；
（2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积实验田中大豆植株种植数量的方案．
类型2 以数学名著为题材
例题3：（2025年四川内江模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意方程是（ ）
A. B.
C. D.
例题4：（2018浙江嘉兴，7，3） 欧几里得的《原本》记载．形如的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取．则该方程的一个正根是（）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
类型3 以数学名人为题材
例题5：（2025年泸州模拟）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
相关内容训练
1.（2025年无锡模拟）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺．
2. （2025年四川成都模拟）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________．
3. （2020年扬州）.《九章算术》是中国传统数学重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
4. （2018浙江温州，10，4）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，求该矩形的面积.
,
5. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6. 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ）
A．5 B．4 C． D．
7. （2025年随州模拟）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①_______；
②与的关系为_______，与的关系为_______．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
