专项5 综合压轴题 （浙江中考真题+中考模拟） ——2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(浙江专用)第二辑（答案+解析）

2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(浙江专用)第二辑
专项5 综合压轴题 （浙江中考真题+中考模拟）
一、综合题
1．（2024·金华真题）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点，确足，则称是的"美丽角".
（1）如图2，AB是的直径，弦是上一点，连结ED交AB于点，连结是的"美丽角"吗 请说明理由；
（2）如图3，在(1)的条件下，若直径的"美丽角"为，当DE时，求CE的长.
2．（2025·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积.
3．（2025·浙江模拟）已知的半径为是其内接三角形，.
图1图2
（1）如图1，求；
（2）如图2，弦，连结分别交于点.
①求证：；
②若点为的中点，求的长.
4．（2025·浙江模拟）如图1，是等腰的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点逆时针旋转，交于点，连结BD、DC、CE
（1）求证：．
（2）如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求BD：DC的值．
5．（2025·浙江模拟）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立.
（1）观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：（a+b)（a-b)=a2-b2：
等式B：（a+b)2=a2+2ab+b2：
可知，图②对应等式　 　；图③对应等式　 　.
（2）如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S1，S2，S3，S4.求的值.
6．（2023九下·长兴模拟）如图，在Rt△ABC中，，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求 的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：．
7．（2025·龙湾模拟）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
（1）求的度数；
（2）当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
8．（2025·龙湾模拟）一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程（）与时间（）的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：
（1）分别求小轿车和大客车的速度；
（2）小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；若不能相遇，请说明理由；
（3）求出发后经过多少小时两车相距？
9．（2024九下·宁波模拟）象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，，）
10．（2025九下·洞头模拟）如图，在中，，过点作圆，取圆上一点，连接CE交圆于点.连接，使，连接FD。
（1）若，求的度数。
（2）①求证：；
②求证：AE为圆的直径。
11．（2025·金华模拟）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
12．（2025·金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的、两点，点的坐标为，线段，点为轴正半轴上一点，且．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象，请直接写出不等式的解集．
13．（2025·金华模拟）某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：
（1）此次调查抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
14．（2025九下·奉化模拟）已知内接于，为的内心，延长交于点，交于点．连结，，．
（1）若求的度数；
（2）设四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题．
①求证∶
②已知求的值．
15．（2025九下·温州模拟）如图，内接于，连结AO交CB于点，交于点，已知.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长；
（3）若，设的半径为，求的面积（用含的代数式表示）。
16．（2024九下·柯桥模拟）如图．四边形内接于，对角线为的直径，平分．
（1）求的度数：
（2）求证：：
（3）若，当时，求的长．
17．（2025·萧山模拟）等腰三角形AFG中AF=AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点(D在F、E之间)，分别延长AD、AE交圆O于B、C两点(如图1)，记∠BAF=α，∠AFG=β.
（1）求∠ACB的大小(用α，β表示)；
（2）连接CF，交AB于H(如图2).若β=45°，且BC×EF=AE×CF.求证：∠AHC=2∠BAC；
（3）在(2)的条件下，取CH中点M，连接OM、GM(如图3)，若∠OGM=2α-45°，①求证：GM∥BC，GM=BC②请直接写出的值.
18．（2025·温州模拟）已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
答案解析部分
1．（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC=PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA=∠EPA，
∵∠BPD=∠EPA，
∴∠CPA=∠BPD，
∴∠CPD是 CD的“美丽角”
（2）解：如图，连接OC，OD，
∵的美丽角为90°，
∴∠APC=∠BPD=45°，
∴∠APE=∠BPD=45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E=∠APE=45°，
∴∠COD=2∠E=90°，
∵直径AB=4，
∴OC=OD=2，
∴；
∵∠CPD=90°，∠E=45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC=PE.
设PC=PE=x，则，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2=CD2，
∴，
解得：或，
∴或，
∴或4
(1)AB是OO的直径，弦CE⊥AB，根据垂径定理得等腰三角形PCE，∠APC=∠APE，对顶角相等，可得∠APC=∠BPD，∠CPD是的“美丽角”；
(2)连接OC，OD，利用勾股定理列方程，求CD，CP，CE.
2．（1）解：将A（-1，a）代入y=x-1，得a=-1-1=-2，
∴A（-1，-2），
将点A坐标代入，得，
∴m=2，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，设直线AB与y轴交于点C，
∵y=x-1，
∴C（0，-1），
∴OC=1，
将B（b，1）代入，得，
∴b=2，
∴B（2，1），
∵A（-1，-2），
∴.
（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的表达式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求出C（0，-1），得OC=1，然后求出点B坐标，接下来利用三角形面积公式求的值即可.
3．（1）解：在图①中，连结并延长交于点，连接，
是直径，
.
由题，
，
是所对的圆周角，，
.
（2）解：①证明：由(1)，在中，，
又.
，即.
②当点与点重合时，如图③，此时为直径，
于点.
由，可得.
当点与点不重合时，
如图④，作，截取，连结.
，
，
.
由①.
又，
又，
.
又.
.
设，则.
.
由.
.
综上所述，或.
（1）连接并延长交于点，连接，得到，则有∠F=∠A，求出∠F的正切即可；
（2）①先根据勾股定理求出CF长，即可得到，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等解题即可；
②分为两种情况：点与点重合时，直接根据正弦解题即可；点与点不重合时，作，截取，连结，证明，即可得到，然后推理得到，证明，即可得到，设，即可得到∠ABM=90°，然后利用正弦解题即可.
4．（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=a，
∴∠BAD=∠CAE
∴
∴CE=BD
（2）解：①如图，
∵CE//AD
∴∠2=∠4
又∵∠2=∠6
∴∠4=∠6
∵∠1=∠3，∠5=∠3
∴∠5=∠1
∴△AEC∽△CDB
∴∠E=∠CDB
∵∠E+∠ABC=∠CDB+∠BAC=180°
∴∠ABC=∠BAC
∴AC=BC
又∵AB=AC，
∴AC=BC=AB
∴△ABC是正三角形
∴a=60；
②∵的度数与的度数之比为3，且的度数+的度数=120°，
∴∠2=15°， ∠3=45°
∴∠2=∠6=15°，∠3=∠5=45°
作DH⊥BC于点H，取BD的中点G，连接GH，过点H作HM⊥BD于点M，
∴∠DHC=∠DHB=∠HMD=∠HMG=90°，
∴GH=BG=GD=BD，
∴∠6=∠BHG=15°，
∴∠HGM=∠6+∠BHG=30°，
设MH=x，则GH=GD=2x，GM=x，
∴MD=GD-GM=
设DH=CH=1，
则CD=，，
解得x=（负值已舍），
∴GH=GD=BG=
∴BD= +
∴BD：DC=1+
（1）根据旋转的性质可得∠BAC=∠DAE=a，由等量减去等量差相等推出∠BAD=∠CAE，由同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得，进而根据等弧所对的弦相等可得结论；
（2）①由二直线平行，内错角相等得∠2=∠4，由同弧所对的圆周角相等得∠2=∠6，则∠4=∠6；由同弧所对的圆周角相等得∠5=∠3，结合∠1=∠3可得∠5=∠1，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEC∽△CDB，由相似三角形对应角相等得∠E=∠CDB，由圆内接四边形的对角互补及等角的补角相等得∠ABC=∠BAC，由等角对等边得AC=BC，从而由三边相等的三角形是等边三角形得△ABC是正三角形，根据等边三角形内角都是60°可得答案；
②根据圆心角、弧、弦的关系可得∠2=15°， ∠3=45°，由同弧所对的圆周角相等得∠2=∠6=15°，∠3=∠5=45°，作DH⊥BC于点H，取BD的中点G，连接GH，过点H作HM⊥BD于点M，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GH=BG=GD=BD，由等边对等角及三角形的外角性质得∠HGM=∠6+∠BHG=30°，由含30°角直角三角形的性质得设MH=x，则GH=GD=2x，GM=x，则MD=GD-GM=，设DH=CH=1，由勾股定理可得CD=，x=（负值已舍），从而可求出BD的长，此题得解了.
5．（1）B；A
（2）解：设 ，则CD=a+b，如图，
∵AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，
∴AG=AD+DG=a+2b，
∵EG⊥AC，
∴∠EGC=∠EGD=90°，
∴∠GEC=∠GCE=45°，
∴CG=EG=a，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴四边形DFEG是矩形，
∴EF=DG=b，FD=EG=a，
∴BF=BD-FD=b，
∴，
∵AH∥BC，
∴∠HAG=∠ACB=45°，
∴∠H=∠HAG=45°，
∴AG=GH=a+2b，
∴
∴
解：（1）图②是由两个小长方形方形和两个小正方形组成的大正方形，其面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为a2+2ab+b2，因此对应的等式是：（a+b)2=a2+2ab+b2 ，即等式B；
图③面积可以表示为(a+b)(a-b)，也可以表示为a2-b2，因此对应的等式是： （a+b)（a-b)=a2-b2，即等式A；
故答案为：B，A；
（1） 用两种不同的方法表示出同一个图形的面积，根据整个图形的面积等于各个部分面积这和列出等式，即可判断得出答案；
（2）设CG=a，DG=b，由等腰直角三角形性质得∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，判断出△ABD、△CEG及△AGH都是等腰直角三角形，四边形DFEG是矩形，得CG=EG=a，EF=DG=b，FD=EG=a，AG=GH=a+2b，进而根据直角三角形面积计算公式分别表示出S1、S2、S3、S4，再代入化简即可.
6．解：（1）如图所示，连接OD，
∵BC是直径，
∴ BC=10，
∴ OB=5，
∵∠BCD=36°，
∴∠BOD=72°，
∴；
（2）DE与⊙O相切．
理由：如图，连接OD，
∵ AE=EC，OB=OC，
∴，
∵ CD⊥AB，
∴ OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠DOE=∠COE，
在和中，
∴△EOD≌△EOC（SAS），
∴∠EDO=∠ECO=90°，
∴ OD⊥DE，
∴ DE是⊙O的切线．
（3）证明：∵ OE⊥CD，
∴ DF=CF，
∵AE=EC，
∴AD=2EF，
∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴，
∴，
∵AC=2CE，
∴，
∴．
（1）连结OD，求出圆心角，再利用弧长公式计算；
（2）利用SAS证明△EOD≌△EOC，来证明OD⊥DE，再判定为切线；
（3）先证明EF是的中位线，再证明，列出比例式，适当变形即可．
7．（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（1）连接CE，根据圆心角、弧、弦的关系可证明CE是直径，根据圆的切线垂直经过切点的半径得，由角平分线定义及三角形内角和定理求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）①连接EF，由直径所对的圆周角是直角得，由同旁内角互补，两直线平行，可证，由二直线平行，内错角相等及等量代换可得，从而由同位角相等，两直线平行，可得，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形；
②延长BC、AD相交于H，由等角对等边得BE=CE，由等腰直角三角形性质求出，，由等弧所对的圆周角相等及平行线的性质可推出，由等角对等边得出，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得，代入数据即可求解．
（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（1）解：由图象可知：小轿车的速度为：，
大客车的速度为：，
∴小轿车的速度为，大客车的速度为；
（2）解：能再次相遇，
设交于点，
由图象可知：，，，
∵小轿车往返的速度相同，
∴，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，
∴点的坐标为，即两车出发小时后相遇，此时距离甲地；
（3）解：设的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，
得：，解得：；
当时，则，
得：，
此时，两车相距超过；
当时，
得：，
解得：或；
综上所述，出发后经过小时或小时或小时两车相距．
（1）根据函数图象可得小轿车2小时行驶了120km，大客车3小时行驶了120km，从而根据路程除以时间等于速度，可以计算出小轿车和大客车的速度；
（2）先确定A、B、C、D四点的坐标，然后分别利用待定系数法求出直线BC与OD的解析式，再联立直线BC与OD的解析式，求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程；
（3）先利用待定系数法求出直线OA的解析式，然后分三种情况，①当时，②当时，③当时，分别列出方程，解方程即可求解．
（1）解：由图象可知：
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：，
∴小轿车的速度为，大客车的速度为；
（2）设交于点，
由图像可知：，，，
∵小轿车往返的速度相同，
∴，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，
∴点的坐标为，即两车出发小时后相遇，此时距离甲地；
（3）设的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，
得：，解得：；
当时，则，
得：，
此时，两车相距超过；
当时，
得：，
解得：或；
综上所述，出发后经过小时或小时或小时两车相距．
9．解：如图，过点作于点，
则四边形为矩形，
（米），
在中，，
（米）．
在中，，
（米）．
（米）．
答：亚帆灯塔的高的值为14米．
由于DC的高度和塔底部处的俯角已知，可过点D作塔身AB的垂线段DE，则塔身AB的一部分BE可知，解直角三角形BDE可得DE长，再解直角三角形ADE即可求得塔身AB的剩余部分AE长即可．
10．（1）
四边形ADFE为圆内接四边形，
（2）①
四边形ABCD为平行四边形，
.
②解法一：作，交圆于点，连接BP，
四边形ABCD为平行四边形，
弧弧DE
弧弧DP
为直径.
解法二：作，交圆于点，连接BP，
，
四边形ABCD为平行四边形，
弧弧DE
弧弧DP
为直径.
解法三：提示：连接BD，
易得
为直径.
解法四：提示：连接ED交CB于点，
易得
由：
为直径
（1）在中，由三角形外角性质可得，再由圆内接四边形的性质可得：，据此可求出的度数；
（2）①根据，利用等角对等边可得：，根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得：AB=CD，进而可得，由等腰三角形性质可证明结论；
②解法一：作，交圆于点，连接，根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得：，根据，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，利用全等三角形的性质可得：AP=DE，利用弦、弧及圆周角关系得到，根据平行线性质确定即可得到，据此可证明结论．
11．（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴与相切；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴．
（）先证明，再证明，且OD为半径，可得结论成立；
（）先根据圆周角定理求得，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角性质求得∠3， 从而可证得，所以有，然后利用余弦求得．
（1）证明：连接，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又为的半径，
∴与相切；
（2）解：∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
12．（1）解：
如图所示，过点A作 轴于点F，
∴在 中，
∴A(3，4)，
∵点A(3，4)在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数解析式为
∵点 在反比例函数图象上，
即
把点A(3，4)， 代入一次函数得：
解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：已知点A(3，4)， 点 结合图象可得，当 时， 当 时，
∴解集为： 或
(1)如图所示，过点A作. 轴于点F，根据可求出点A的坐标，由此可求出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入，可求出点B的坐标，运用待定系数法可求出一次函数解析式；
(2)根据点A，B的坐标，图形结合即可求解.
13．（1）解：10÷10%=100（户）；
答：此次调查抽取了100户的用水量数据
（2）解：100﹣10﹣36﹣25﹣9=100﹣80=20户，画直方图如图，
×360°=90°
（3）解： ×20=13.2（万户）．
答：该地20万用户中约有13.2万户居民的用水全部享受基本价格
（1）用10吨～15吨的用户除以所占的百分比，计算即可得解；（2）用总户数减去其它四组的户数，计算求出15吨～20吨的用户数，然后补全直方图即可；用“25吨～30吨”所占的百分比乘以360°计算即可得解；（3）用享受基本价格的用户数所占的百分比乘以20万，计算即可．
14．（1）解：∵
∴
又∵为的内心，，
∴

（2）①证明：如图所示，过点作的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴
∴
∴
∴；
②解：如图所示，过点作于点，
∵是的内心
∴，
设
又∵
∴
∴，
∴
∴，则
∴
又∵
∴
∴，
∵，则到的距离相等，设到的距离为，设到的距离为，
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
由①可得
又．
∴．

（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形内心解题即可；
（2）①过点作的垂线，垂足为，即可得到，然后根据三角函数得到，即可表示三角形的面积；
②过点作于点，得到，即可得到，即可得到，代入数值求出m，再根据三角形的面积公式解题即可．
15．（1）证明：如图，连CE，
是直径，
又，
（2）解：
作交于点，
中，，即
，即
又
（3）解：如图所示，连结CO并延长交AB于点F，
中，
，即，
（1）由于直径所对的圆周角等于90度，所以；因为已知，等量代换得，则，则在中，；
（2）由于可证，所以求的长实质是求的长；由于，可利用勾股定理求出的值，此时转化为求的值，由于，可作交于点构造直角三角形，则有，再利用的余弦三角函数快速求出的值即可。
（3）要计算等腰的面积，可分别求出底边和高即可，由于只知道半径长，可联系垂径定理，当CA＝CB时，半径CO所在的直径必然垂直平分弦AB，所以可连接CO并延长交AB于点F，因为CA＝CB则；又因为，可证明，结合圆周角定理可得CB平分直角，可得出为等腰直角三角形，解这个直角三角形可分别求出AF与OF的长，则三角形ABC的底边AB和CF可求.
16．（1）解：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解： ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，且，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解： ∵，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴，则，
设，则，
由上述证明可得，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在直角中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
17．（1）解：如图：连接CF
∵ AF=AG
∴
∴∠ACF= ∠AFG=β
∵∠BCF=∠BAF= α
∴∠ACB=∠BCF＋∠ACF=α＋β
（2）证明：如图，连接BC
∵ AF=AG
∴
∴∠ACF=∠AFG=45°
∵∠FAE=∠FAE
∴△FAE∽△CAF
∴
∴AE·CF=AF·EF
∵BC·EF=AE·CF
∴BC·EF=AF·EF
∴BC=AF
∴
∴∠BAC=∠ACH=45°
∴∠AHC=90°
∴ ∠AHC=2∠BAC .
（3）解：如图：延长GM交AB于点I，连接FI，FB，CG
由（2）知：FG是 圆O 的直径
∴∠FAG=90°，∠FCG=90°
∵∠AHC=90°
∴AH∥CG
∵∠BCF=∠BAF=α
∴∠IAG=∠FAG－∠FAB=90°－α
∠ABC=90°－∠BCF=90°－α
∴∠IAG=∠ABC
∴IG∥BC
∴四边形BCGI为平行四边形
∴BI=CG，IG=BC
∵AH∥CG
∴∠MGC=∠MIH，∠HMI=∠CMG
∵M是CH的中点
∴HM=CM
∴△HMI≌△CMG(ASA)
∴HI=CG，IM=MG=IG
∴MG=BC，GM∥BC
②或.
解：（3）②
由 ① 可知：设HI=BI=CG=1，AH=HC=n
∴BH=HF=2，CF=n＋2
在Rt△FHI中，FI=
在Rt△BHC中，
由（2）知：AF=BC
∴
在Rt△AFG中，
又∵在Rt△CFG中，CF2＋CG2=FG2 ∴ n+22+1=8+2n2 ，解得：n=1或n=3
∴HC=1或3
∵OF=OG，IM=GM
∴OM=，MC=CH
∴
当n=1时，
当n=3时，
综上所述：的值为或
故答案为或.
（1）先根据AF=AG，得到，根据同弧所对的圆周角相等可得：∠BCF=∠BAF= α，∠ACF= ∠AFG=β，又因为∠ACB=∠BCF＋∠ACF，因此可得：∠ACB=α＋β.
（2）先根据∠ACF=∠AFG=45°，∠FAE=∠FAE得到△FAE∽△CAF，再根据对应边成比例得到：，因此AE·CF=AF·EF，又因为BC·EF=AE·CF，因此可得BC=AF，因此，
∠BAC=∠ACH=45°，因而可以得到∠AHC=90°，即可证明：∠AHC=2∠BAC .
（3） ① 先根据FG是 圆O 的直径得到FG是 圆O 的直径，由（2）知：∠AHC=90°，因此可得AH∥CG，再根据∠BCF=∠BAF=α，得到：∠IAG=∠ABC=90°－α，可以得出IG∥BC，从而推出四边形BCGI为平行四边形，得到IG=BC，再证明△HMI≌△CMG(ASA)，得到IM=MG=IG，从而得到MG=BC，GM∥BC.
②设HI=BI=CG=1，AH=HC=n，根据勾股定理分别求出： FI=，，因为AF=BC得到，在Rt△AFG中，，
最后再根据勾股定理：CF2＋CG2=FG2，列出方程 n+22+1=8+2n2 ，解得：n=1或n=3从而求出HC=1或3，再根据中位线定理得到：，然后把数值代入计算即可.
18．（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
（1）连接，由三角形外角得到，然后根据圆周角定理得到，即可得到，即可得到，证明结论；
（2）在和中得到，即可转化成与，，相关的角，求得，即可解题；
（3）过作于，连接，根据（1）（2）中结论，即可得到，设，即可得到，然后得到，根据对应边成比例得到的值，再在中，利用勾股定理解题即可．