九下数学第 1周校内限时作业 AC于点 D，E．分别以点 D，E为圆心，大于 长为半径画弧，交于∠BAC 14．（4分）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽 ABCD是
矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点 A，D时，恰好与 BC边相切，则此餐盘
班级____________ 姓名___________ 内一点 F．连结 AF并延长，交 BC于点 G．连结 DG，EG．添加下列条件，
的半径等于 cm．
一、选择题（本题共有 10小题，每小题 3分，共 30分） 不能使 BG＝CG成立的是（ ）
15．（4分）如图，点 A，B在 x轴上，分别以 OA，AB为边，在 x轴上方作正
1．（3分）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单 A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
方形 OACD，ABEF，反比例函数 y＝ （k＞0）的图象分别交边 CD，BE于
位：dBm），则下列信号最强的是（ ） 8．（3分）某人患了流感，经过两轮传染后共有 36人患了流感．设每一轮传染
A．﹣50 B．﹣60 C．﹣70 D．﹣80 中平均每人传染了 x人，则可得到方程（ ） 点 P，Q．作 PM⊥x轴于点 M，QN⊥y轴于点 N．若 OA＝2AB，Q为 BE的
2．（3 分）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是 A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 中点，且阴影部分面积等于 6，则 k的值为 ．
（ ） C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
9．（3 分）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆
，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点 A到桌面的
A． B． C． D．
最大高度是（ ）
A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα
16．（4分）下面是勾股定理的一种证明方法：图 1所示纸片中，∠ACB＝90°
（AC＜BC），四边形 ACDE，CBFG是正方形．过点 C，B将纸片 CBFG分
第 2题图 第 6题图 第 7题图
别沿与 AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形 ACDE，△ABC
3．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
拼成图 2．
2 2 3 5 2 第 9题图 第 13题图 第 14题图A．3a+2a＝5a B．3a﹣2a＝1 C．a a ＝a D．a÷a ＝a
10．（3分）已知二次函数 y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有 A（m，
4．（3分）某公司 5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，
y ）和 B（2m，y ）两点．若点 A，B都在直线 y＝﹣3a的上方，且 y ＞y ，
50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了 20 1 2 1 2元，则分析这 5名员工捐款额
则 m的取值范围是（ ）
的数据时，不受影响的统计量是（ ）
A B C D A． B． C． D．m＞2．平均数 ．中位数 ．众数 ．方差
5．（3分）下列各组数满足方程 2x+3y＝8的是（ ） 二、填空题（本题共有 6小题，每小题 4分，共 24分）
A． B． C． D． 11．（4分）计算： ﹣1＝ ．
（1）若 cos∠ABC＝ ，△ABC的面积为 16，则纸片Ⅲ的面积为 ．
12．（4分）衢州飞往成都每天有 2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，
6．（3分）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出 Cobb角∠O的
（2）若 ，则 ＝ ．
如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等
大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
于 ．
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
13．（4分）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点 A的坐标
7．（3分）如图，在△ABC中，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，
为（0，1），点 B的坐标为（2，2），则点 C的坐标为 ．
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九下数学第 1周校内限时作业（答题卷） 19．（6分）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下
面四个条件：
班级__________姓名__________
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
一．选择题（共 10小题，每题 3分，共 30分）
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
答案
二．填空题（共 6小题，每题 4分，共 24分）
11. ______________ 12.______________ 13.______________
14.______________ 15.______________ 16.________，_________
三、解答题（本题共有 8小题，第 17～19小题每小题 6分，第 20～21小题每
小题 8分，第 22～23小题每小题 10分，第 24小题 12分，共 66分）
17．（6分）（1）计算：（a+2）（a﹣2）．（2）化简： +2．
21．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，O为 AC 边上一点，连结
OB．以 OC为半径的半圆与 AB边相切于点 D，交 AC边于点 E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若 OB＝OA，AE＝2．
20．（8分）【数据的收集与整理】 ①求半圆 O的半径．
18．（6分）小红在解方程 时，第一步出现了错误： 根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对 2022 年我市人口变动情况进行 ②求图中阴影部分的面积．
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， 了抽样调查，抽样比例为 5‰．根据抽样结果推算，我市 2022年的出生率为
… 5.5‰，死亡率为 8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为 a人（‰表
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． 示千分号）．
（2）写出你的解答过程． 【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为 11450，请推算 a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据
统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
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22．（10分）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“ ”形图都是正方形 23．（10 分）某龙舟队进行 500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个 24．（12分）如图 1，点 O为矩形 ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点 E为
阶段．图 1，图 2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程 s（m）与时 AD边上一点（0＜AE＜3），连结 EO并延长，交 BC于点 F．四边形 ABFE
结构，同一行的“ ”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离
间 t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为 s＝kt2（k≠0）；途中阶 与 A′B′FE关于 EF所在直线成轴对称，线段 B′F交 AD边于点 G．
需要不同的视力表．
段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速 （1）求证：GE＝GF．
素材 1 国际通用的视力表以 5米为检测距离，任选视力表中 7个视力值 n，
期龙舟划行总路程 s（m）与时间 t（s）的函数表达式为 s＝k（t﹣70）2+h（k （2）当 AE＝2DG时，求 AE的长．
测得对应行的“ ”形图边长 b（mm），在平面直角坐标系中描点如图 1． ≠0）． （3）令 AE＝a，DG＝b．
探究 1 检测距离为 5米时，归纳 n与 b的关系式，并求视力值 1.2所对应行 ①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．
②如图 2，连结 OB′，OD，分别交 AD，B′F于点 H，K．记四边形 OKGH
的“ ”形图边长．
的面积为 S1，△DGK的面积为 S2，当 a＝1时，求 的值．
（1）求出启航阶段 s（m）关于 t（s）的函数表达式（写出自变量的取值范
围）．
（2）已知途中阶段龙舟速度为 5m/s．
①当 t＝90s时，求出此时龙舟划行的总路程．
②在距离终点 125米处设置计时点，龙舟到达时，t≤85.20s视为达标．请
素材 2 图 2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“ ” 说明该龙舟队能否达标．
形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值 n与分辨视角θ（分）的对应关系近似 （3）冲刺阶段，加速期龙舟用时 1s将速度从 5m/s提高到 5.25m/s，之后保
满足 n＝ （0.5≤θ≤10）． 持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练所需时间（精确到 0.01s）．
探究 2 当 n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ
的范围．
素材 3 如图 3，当θ确定时，在 A处用边长为 b1的Ⅰ号“ ”测得的视力与
在 B处用边长为 b2的Ⅱ号“ ”测得的视力相同．
探究 3 若检测距离为 3米，求视力值 1.2所对应行的“ ”形图边长．
第 3页（共 3页）九下数学第1周校内限时作业
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：dBm），则下列信号最强的是（ ）
A．﹣50 B．﹣60 C．﹣70 D．﹣80
【解答】解：∵|﹣50|＝50，|﹣60|＝60，|﹣70|＝70，|﹣80|＝80，50＜60＜70＜80，
∴信号最强的是﹣50，
故答案为：A．
2．（3分）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：该直口杯的主视图为．
故选：D．
3．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1 C．a2 a3＝a5 D．a÷a2＝a
【解答】解：因为3a+2a＝5a，所以A选项错误．
因为3a﹣2a＝a，所以B选项错误．
因为a2 a3＝a2+3＝a5，所以C选项正确．
因为a÷a2＝a1﹣2＝a﹣1，所以D选项错误．
故选：C．
4．（3分）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【解答】解：依题意，捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，方差都要用到第一个数，
故不受影响的统计量是中位数．
故选：B．
5．（3分）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8，
∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意；
B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意；
C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；
D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．
故选：A．
6．（3分）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
【解答】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，
∴∠DEB＝∠O，
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
【解答】解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
8．（3分）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36
C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
【解答】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
9．（3分）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF＝AB sinα＝bsinα，
在Rt△BCG中，BG＝BC sin45°＝a×＝a，
∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，
故选：D．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．m＞2
【解答】解：∵a＜0，
∴y＝﹣3a＞0，
∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，
∴4am2﹣8am＞﹣3a，
∴4m2﹣8m+3＜0，
∴＜m＜①，
∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．
∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，
∴3am2＜4am，
∵a＜0，m＞0，
∴am＜0，
∴m＞②，
由①②得＜m＜．
故选：C．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣1＝ 1 ．
【解答】解：﹣1＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
12．（4分）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于 ．
【解答】解：如图所示，
选择航班从衢州飞往成都共有4种情况：（A，A）（A，B）（B，A）（B，B），其中选择同一航班从衢州市飞往成都市的有两种情况：
（A，A），（B，B）．
∴P（选择同一航班从N市飞往S市）＝．
故答案为：．
13．（4分）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 （1，3） ．
【解答】解：如图：由A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系：由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）．
14．（4分）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 10 cm．
【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵餐盘与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
设餐盘的半径为x cm，
则OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盘的半径为10cm，
故答案为：10．
15．（4分）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 24 ．
【解答】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
16．（4分）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 9 ．
（2）若，则＝ ．
【解答】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：
∵CT∥AB，
∴∠ABC＝∠BCT，
∵cos∠ABC＝，
∴cos∠BCT＝，即＝，
∴CT＝BC，
∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，
∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，
∴CM＝AC，
∴CT CM＝BC AC＝BC AC，
∵△ABC的面积为16，
∴BC AC＝16，
∴BC AC＝32，
∴CT CM＝18，
∴纸片Ⅲ的面积为CT BT＝CT CM＝9；
故答案为：9；
（2）如图：
∵＝，
∴＝，
设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，
∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，
∴△BFN≌△CBW（ASA），
∴BN＝CW＝34t，
∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，
∴△BCT∽△WBT，
∴＝，
∴CT WT＝BT2，
∴CT （34t﹣CT）＝（15t）2，
解得CT＝9t或CT＝25t，
当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；
当CT＝25t时，WT＝9t，
而BK＝CT，AK＝WT，
∴＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）
17．（6分）（1）计算：（a+2）（a﹣2）．
（2）化简：+2．
【解答】解：（1）（a+2）（a﹣2）
＝a2﹣22
＝a2﹣4；
（2）+2
＝
＝
＝
＝a．
18．（6分）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【解答】解：（1）如图：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括号：14x＝4x﹣1+6，
移项：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同类项：10x＝5，
系数化1：x＝．
19．（6分）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【解答】解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
20．（8分）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
【解答】解：（1）根据题意可知，人口自然增长率＝出生率﹣死亡率．
（2）5‰a＝11450，解得a＝2290000．
（3）①近5年来，我市及全国人口自然增长率逐年下降；自2021年起，我市人口呈现负增长（答案不唯一，合理即可）；
②建议国家加大政策优惠力度和补贴力度，降低生育成本，鼓励人们多生育（答案不唯一，合理即可）．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图，连结OD．
∵BD是圆O的切线，D为切点，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BC＝BD．
（2）解：①∵OB＝OA，
∴∠OBD＝∠A，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴∠OBD＝∠OBC，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，
∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，
在Rt△ODA 中，sin∠A＝，
∴OD＝OA．
∵OD＝OE，
∴OE＝OA，
∴OE＝AE＝2，
∴半圆O的半径为2．
②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，
∴AD＝＝2，
∴S△OAD＝＝2，
∵∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴S阴影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝2﹣＝2﹣．
22．（10分）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n＝（0.5≤θ≤10）． 探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
【解答】解：探究1：
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
设 ，将其中一点（9，0.8）代入得：，
解得：k＝7.2，
∴，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 n＝1.2 代入n＝得：b＝6；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm；
探究2：
∵，
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0＜θ≤1.0，
∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得＝，
由探究1知b1＝6，
∴＝，
解得，
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为．
23．（10分）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．
（1）求出启航阶段s（m）关于t（s）的函数表达式（写出自变量的取值范围）．
（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当t＝90s时，求出此时龙舟划行的总路程．
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，t≤85.20s视为达标．请说明该龙舟队能否达标．
（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
【解答】解：（1）把A（20，50）代入s＝kt2 得50＝400k，
解得，
∴启航阶段总路程s关于时间t的函数表达式为s＝（0＜t≤20）；
（2）①设s＝5t+b，把（20，50）代入，得50＝5×20+b，
解得b＝﹣50，
∴s＝5t﹣50．
当t＝90时，s＝450﹣50＝400．
∴当t＝90s时，龙舟划行的总路程为400m．
②500﹣125＝375，
把s＝375代入s＝5t﹣50，
得t＝85．
∵85＜85.20，
∴该龙舟队能达标．
（3）加速期：由（1）可知k＝，
把（90，400）代入s＝，
得h＝350．
∴函数表达式为s＝，
把t＝91代入s＝，
解得s＝405.125．
∴（500﹣405.125）÷5.25≈18.07（s），
∴90+1+18.07＝109.07（s）．
答：该龙舟队完成训练所需时间为109，07s．
24．（12分）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．
（1）求证：GE＝GF．
（2）当AE＝2DG时，求AE的长．
（3）令AE＝a，DG＝b．
①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．
②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a＝1时，求的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF＝∠BFE，
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE＝∠GFE，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF；
（2）解：过G作GH⊥BC于H，如图：
设DG＝x，则AE＝2x，
∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝8﹣3x＝GF，
∵∠GHC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH＝CD＝AB＝4，CH＝DG＝x，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CF＝AE＝2x，
∴FH＝CF﹣CH＝x，
在Rt△GFH中，FH2+GH2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣3x）2，
解得x＝3+（此时AE大于AD，舍去）或x＝3﹣，
∴AE＝2x＝6﹣2；
∴AE的长为6﹣2；
（3）①证明：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图：
∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴O为EF中点，OA＝OD，OQ＝AB＝2，
∵GE＝GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ＝90°﹣∠EOQ＝∠QEO，
∵∠GQO＝90°＝∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴＝，即GQ EQ＝OQ2，
∴GQ EQ＝4，
∵OA＝OD，OQ⊥AD，
∴AQ＝DQ＝AD＝4，
∴EQ＝AQ﹣AE＝4﹣a，GQ＝DQ﹣GD＝4﹣b，
∴（4﹣a）（4﹣b）＝4；
②解：连接B'D，OG，OB，如图：
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴BF＝B'F，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BF＝DE，
∴B'F＝DE，
同理OD＝OB＝OB'，
由（1）知GF＝GE，
∴B'F﹣GF＝DE﹣GE，即B'G＝DG，
∵OG＝OG，
∴△DOG≌△B'OG（SSS），
∴∠ODG＝∠OB'G，
∵DG＝B'G，∠DGK＝∠B'GH，
∴△DGK≌△B'GH（ASA），
∴DK＝B'H，GK＝GH，
∴OD﹣DK＝OB'﹣B'H，即OK＝OH，
∵OG＝OG，
∴△OGK≌△OGH（SSS），
∴S△OGK＝S△OGH，
∴S1＝2S△OGK，
∴＝，
∵∠EGF＝∠DGB'，GE＝GF，GD＝GB'，
∴∠GEF＝∠GFE＝∠GDB'＝∠GB'D，
∴EF∥B'D，
∴△OKF∽△DKB'，△EGF∽△DGB'，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝＝＝，
∵△EGF∽△DGB'，
∴＝，
当a＝1时，由①知（4﹣1）×（4﹣b）＝4，
∴b＝，
∴AE＝1，DG＝，
∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝，
∴＝＝＝＝，
∴的值为．
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