计数的基本原理
图片预览
文档简介
10.1 计数的基本原理
开课人：夏海平
一、教学目标：
1、理解两个基本原理的内容，在理解基础上，能记忆、复述两个基本原理；
2、通过某个实际生活问题，理解“完成一件事、类别、步骤”的含义，并能迁移到其他各类实际问题，解释“完成一件事、类别、步骤”的具体意义；
3、在面临各种实际问题时，能够正确选择两个定理；
4、能应用两个定理，解决简单实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点、难点、关键：
重点：各类实际问题，解释“完成一件事、类别、步骤”的具体意义；
难点：分类计数原理与分步计数原理的正确选择；
关键：实际问题中“分类与分步”的判断。
三、教学方法：问题教学
四、教学手段：多媒体
五、教学过程：
Ⅰ. 课题导入
引例：
前不久，经贸部高二年级开展了一系列体育活动。我们3个汽检班进行了篮球赛，现在要从班级的5位上场球员中选出2人分别作为正副队长，问共有多少种不同的选法？
这是生活中的计数问题，要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．而运用排列、组合方法时，经常要用到计数的两个基本原理。本节课，我们从具体例子出发学习这两个原理，并要求能够运用这两个原理来解决一些实际问题。
设计意图：通过生活当中的计数问题，激发学生学习欲望，创造良好的学习氛围。
Ⅱ.讲授新课
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
图示：
［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具上可以有两类选择，即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可达到目的.若乘火车有3种走法，若乘汽车有2种走法.由于每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法。
提问学生：归纳出分类计数原理
分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
注意点：
（1）从原理中看出方法总数就是“各类方法数”相加，所以分类计数原理又称加法原理；
（2）“分类”后每一类办法中的方法都能完成这件事，即各类之间的方法都是相互独立的。
练习：一件工作可以用两类方法完成，有5人会用第一类方法完成，另有4人会用第二类方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
［师］接下来，我们再看问题二。
问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再第二天从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，需要分成两个步骤，即第一步乘火车，第二步乘汽车.因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，并且两步依次完成后才能达到目的，所以乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法。
［师］从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法。
提问学生：归纳出分步计数原理。（给出投影）
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
注意点：
（1）分步计数原理与“分步”有关，方法总数为“各步方法数”相乘，所以分步计数原理又称乘法原理；
（2）完成一件事是分步的，且各个步骤相互依存，连续完成这些步骤后此事才算完成，才能使用乘法原理。
练习：从A村去B村的道路有30条，从B村去C的道路有20条，从A村经B村去C村，不同走法的种数是 。
设计意图：通过讨论，引导学生去发现问题的区别，学生参与讨论，用类比的方法得出两个计数原理，学生容易接受新知。
Ⅲ.应用举例：
例 1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？
（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？
分析: (1)从书架上任取1本书，有三类办法，根据分类计数原理, 得到不同选法种数共有
N = 4+3+2= 9 种。
(2)从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：根据分步计数原理, 得到不同选法种数共有 N = 4 × 3 ×2 = 24 种。
例2：某校数学课外活动小组有高一学生5人，高二学生4人，高三学生3人。如果要推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同的年级，有多少种不同的选法？
解：分三大类：
（1）2人分别来自高一、高二则有：5×4=20种结果；
（2）2人分别来自高一、高三则有：5×3=15种结果；
（3）2人分别来自高二、高三则有：4×3=12种结果；
因此共有不同结果20+15+12=47种.
讲讲练练：
1. 有不同的中文书6本，不同的英文书5本，不同的日文书4本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？
2. 从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路;另外，从甲地到丁地有4条路, 从丁地到丙地有2条路。则从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
3. 在篮球赛开赛前，要从班级的5位上场球员中选出2人分别作为正副队长，问共有多少种不同的选法？
设计意图：学生参与讨论发言，教师点拨“分类”还是“分步”，结合课件，活跃学生思维和课堂气氛。教会学生如何把实际问题转化成数学问题，并用两原理去解决问题。
Ⅳ.课堂小结
1、本节课学习了那些主要内容？
2、何时使用分类计数原理、分步计数原理
Ⅴ．布置作业
作业 P161 4、5、6、7
所有走法：
火车1──汽车1
火车1──汽车2
火车2──汽车1
火车2──汽车2
火车3──汽车1
火车3──汽车2
开课人：夏海平
一、教学目标：
1、理解两个基本原理的内容，在理解基础上，能记忆、复述两个基本原理；
2、通过某个实际生活问题，理解“完成一件事、类别、步骤”的含义，并能迁移到其他各类实际问题，解释“完成一件事、类别、步骤”的具体意义；
3、在面临各种实际问题时，能够正确选择两个定理；
4、能应用两个定理，解决简单实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点、难点、关键：
重点：各类实际问题，解释“完成一件事、类别、步骤”的具体意义；
难点：分类计数原理与分步计数原理的正确选择；
关键：实际问题中“分类与分步”的判断。
三、教学方法：问题教学
四、教学手段：多媒体
五、教学过程：
Ⅰ. 课题导入
引例：
前不久，经贸部高二年级开展了一系列体育活动。我们3个汽检班进行了篮球赛，现在要从班级的5位上场球员中选出2人分别作为正副队长，问共有多少种不同的选法？
这是生活中的计数问题，要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．而运用排列、组合方法时，经常要用到计数的两个基本原理。本节课，我们从具体例子出发学习这两个原理，并要求能够运用这两个原理来解决一些实际问题。
设计意图：通过生活当中的计数问题，激发学生学习欲望，创造良好的学习氛围。
Ⅱ.讲授新课
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
图示：
［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具上可以有两类选择，即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可达到目的.若乘火车有3种走法，若乘汽车有2种走法.由于每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法。
提问学生：归纳出分类计数原理
分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
注意点：
（1）从原理中看出方法总数就是“各类方法数”相加，所以分类计数原理又称加法原理；
（2）“分类”后每一类办法中的方法都能完成这件事，即各类之间的方法都是相互独立的。
练习：一件工作可以用两类方法完成，有5人会用第一类方法完成，另有4人会用第二类方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
［师］接下来，我们再看问题二。
问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再第二天从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，需要分成两个步骤，即第一步乘火车，第二步乘汽车.因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，并且两步依次完成后才能达到目的，所以乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法。
［师］从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法。
提问学生：归纳出分步计数原理。（给出投影）
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
注意点：
（1）分步计数原理与“分步”有关，方法总数为“各步方法数”相乘，所以分步计数原理又称乘法原理；
（2）完成一件事是分步的，且各个步骤相互依存，连续完成这些步骤后此事才算完成，才能使用乘法原理。
练习：从A村去B村的道路有30条，从B村去C的道路有20条，从A村经B村去C村，不同走法的种数是 。
设计意图：通过讨论，引导学生去发现问题的区别，学生参与讨论，用类比的方法得出两个计数原理，学生容易接受新知。
Ⅲ.应用举例：
例 1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？
（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？
分析: (1)从书架上任取1本书，有三类办法，根据分类计数原理, 得到不同选法种数共有
N = 4+3+2= 9 种。
(2)从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：根据分步计数原理, 得到不同选法种数共有 N = 4 × 3 ×2 = 24 种。
例2：某校数学课外活动小组有高一学生5人，高二学生4人，高三学生3人。如果要推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同的年级，有多少种不同的选法？
解：分三大类：
（1）2人分别来自高一、高二则有：5×4=20种结果；
（2）2人分别来自高一、高三则有：5×3=15种结果；
（3）2人分别来自高二、高三则有：4×3=12种结果；
因此共有不同结果20+15+12=47种.
讲讲练练：
1. 有不同的中文书6本，不同的英文书5本，不同的日文书4本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？
2. 从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路;另外，从甲地到丁地有4条路, 从丁地到丙地有2条路。则从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
3. 在篮球赛开赛前，要从班级的5位上场球员中选出2人分别作为正副队长，问共有多少种不同的选法？
设计意图：学生参与讨论发言，教师点拨“分类”还是“分步”，结合课件，活跃学生思维和课堂气氛。教会学生如何把实际问题转化成数学问题，并用两原理去解决问题。
Ⅳ.课堂小结
1、本节课学习了那些主要内容？
2、何时使用分类计数原理、分步计数原理
Ⅴ．布置作业
作业 P161 4、5、6、7
所有走法：
火车1──汽车1
火车1──汽车2
火车2──汽车1
火车2──汽车2
火车3──汽车1
火车3──汽车2
同课章节目录