万州二中高 2023 级高二下期期中考试数学试题
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 的值为（ A ）
A 9 B 18 C 24 D 30
2．已知 是相互独立事件，且 ，则 （ ）
A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28
【答案】C
【详解】由 可得 ，
又 是相互独立事件，所以 .
故选：C
3． 的二项展开式中 的系数为（ ）
A. 15 B. 6 C. D.
【详解】 的二项展开式为 ，
令 ，解得 ，
故所求即为 .
故选：B.
4．已知函数 ， 是函数 f(x)的导函数，则
A. 0 B. －1 C. 1 D.
，所以 ，故选 A
5. 已知函数 有极值，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由 ，
得 ，
根据题意得 ，
解得 或 ，
所以实数 a 的取值范围是 .
故选：D．
6. 已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，则 ，其中 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，所以， ，
因为 在 上恒成立，所以， ，解得 .
故选：B
7．2022 年北京冬奥会圆满结束，学校要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报，小亮在书写本届冬奥会的主题“Together for a
Shared Future”时，只记得 Future 包含的字母，忘记了正确拼写顺序，请问，小亮乱写，小亮写正确的概率是（）
A. B. C. D.
【详解】小亮乱写,共有 种写法，
所以小亮乱写，正确的概率是 .
故选：A
8. 已知定义在 R 上的函数 的导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】令 ，则 ，所以 在 R 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
又 在 R 上单调递增，所以 ，解得 ，
即不等式 的解集为 .
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部
分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9． 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 时，曲线 的切线斜率最小值为
B. 时， 有最大值
C. 时， 有两个零点
D. 时， 有最小值
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
对于 A 选项，当 时， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， 时，曲线 切线斜率最小值为 ，A 对；
对于 B 选项，当 时， 对任意的 恒成立，
所以，当 时，函数 在 上为增函数，则 无最大值，B 错；
对于 CD 选项，当 时， ， ，
由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
则 ，所以， ，
所以，当 时，函数 有最小值，函数 无零点，C 错 D 对.
故选：AD.
10．从 7 名男生和 3 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果 4 人中男生女生各有 2 人，那么有 63 种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有 28 种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内，那么有 140 种不同的选法
D．如果 4 人中必须既有男生又有女生，那么有 184 种不同的选法
【答案】ABC
【详解】对于 A，如果 4 人中男生女生各有 2 人，男生的选法有 种，女生的选法有 种，所以共有
种不同的选法.故 A 正确.
对于 B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的 8 人中再选 2 人即可，
有 种不同的选法，故 B 正确.
对于 C，在 10 人中任选 4 人，有 种不同的选法，甲乙都不在其中的选法有 ，
故男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内的选法有 种，故 C 正确.
对于 D，在 10 人中任选 4 人，有 种不同的选法，只有男生的选法有 种， 10
人中任选 4 人不可能全是女生，故 4 人中必须既有男生又有女生的选法有 种，故 D 错误.
故选：
11．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．【答案】AD
结合图象和指、对函数之间的关系即可判断 AB；利用切线不等式 即可判断 C；利用不等式 即可判断
D.
【详解】对于 A，
由图可知： 与 交点 ，
与 的交点 ，
根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A， 关于 对称，
故 ， ，故 A 正确；
对于 B，由 A 知 ，故 B 错误；
对于 C，由 知 ，则 ，设 ， ，
则 ，则当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
则 ，则 恒成立，即 ，当 时取等；
令 ，则有 ，因为 ，则 ，即 ，故 C 错误；
对于 D，设 ， ，则 ，
则当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
则 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，当 时取等，
令 ，则 ，即 ，
因为 ，则 ，则 ，故 ，故 D 正确.
故选 AD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12.. 在 的展开式中， 的系数为__-120___
13．若 则它们的大小关系是（用小于符合，从左到右，从小到大的顺序排列）__________
14. 某城市的交通道路如图，从城市的西南角 到城市的东北角 ，经过城市中心广场 ，最近的走法种数有__________种．
【答案】60
【解析】
解决本问题可以分为两步来解决，先查出 A 到 的走法，再查出 到 的走法，相乘即得答案.
【详解】用分步乘法原理解题，分两步，
第一步，由 A 到 ，共走 5 段路，3 横 5 竖，共有 种走法；
第二步，由 到 ，共走 4 段路，2 横 2 竖，共有 种走法
最近的走法种数有 种
故答案为：60
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设 ， ，已知
(1)求实数 的值；
(2)求 的值；
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)128.
【详解】（1）根据二项式定理可得 ，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）知 ，
令 得
再令 得
所以 ；
16．2024 年 3 月 22 日是第三十二届“世界水日”，3 月 22 日-28 日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，
加强水资源保护，万州二中举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下： 盒中有 5 个红球，4 个白球， 盒中有 5 个红球，
5 个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取 2 个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一
类问题，答对得 2 分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得 3 分，两类问题答错均不得分.甲同学参加比赛.
(1) 求甲同学抽到 盒的概率
(2)求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率；
【答案】（1）设事件 “抽到 盒”，事件 “抽到 盒”，
则 ，
“随机抽取两个球，颜色相同”，
， ，
由全概率公式得 ，
所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为 ；
17．某学校派出 6 名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其
中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
(1)求该校派出的 6 名学生总共有多少种不同的参赛方案？
(2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这 6 名学生一共有多少种不同的
参赛方案？
【答案】（1）若参加三个学科的人数分别为 1，1，4 时，共有 种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为 1，2，3 时，共有 种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为 2，2，2 时，共有 种参赛方案；
该校派出的 6 名学生总共有 种不同的参赛方案．
（2）若有 4 人选择化学竞赛，则有 1 种参赛方案；
若有 3 人选择化学竞赛，余下的一人有 2 种选法，则有 种参赛方案；
若有 2 人选择化学竞赛，余下的两人各有 2 种选法，则有 种参赛方案；
若有 1 人选择化学竞赛，余下的三人各有 2 种选法，则有 种参赛方案；
所以总共有 种不同的参赛方案．
18. 已知函数 有两个不同的零点 .
（1）求 的取值范围；
（2）求证: .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）求出 的导函数后分类讨论，发现只有 才可能存在两个不同的零点，求出函数 的单调性，则需 的
极大值大于 才能满足题意，由此求出 的取值范围；
（2）由零点定义得到两个方程，变形得到两根之和的等式，通过构造函数证明所求不等式.
小问 1 详解】
由题意知函数 的定义域为 ，导函数为 ，
若 ，则 ，即 在 上单调递增，则 在 上至多一个零点，不合题意舍去；
则必有 ，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 存在极大值 ，无极小值.
因为当 时， ；当 时， ，
若函数 有两个不同的零点，则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
因为 是函数 有两个不同的零点，不妨设 ，
则 ，
两边取对数得 ，
两式相减得 ，
设 ，则 ，且有 ，解得 ，所以 ，
要证明 ，只需证明 ，即证 ，
故构造函数 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
故原不等式 成立.
19. 约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数 满足如下条件：
①函数 在区间 上连续（函数图象没有间断）；
②函数 在开区间 内可导（导数存在）．则在区间 内至少存在一点 ，使得 成立，其中 称为“拉格
朗日中值点”．
（1）求函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数；
（2）对于任意的实数 ， ，证明： ；
（3）已知函数 在区间 上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当 时，证明：
．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
（1）先求 ，再根据“拉格朗日中值点” 的定义令 ，解方程即可求解；
（2）设 ，分 和 两种情况讨论，利用拉格朗日中值定理有 ，结合 即可求证；
（3）对函数二次求导，利用拉格朗日中值定理，结合函数的单调性即可证明.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
， ，所以 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
【小问 2 详解】
设 ，有 ，
易知函数 在 上满足拉格朗日中值定理的两个条件，
当 时，显然有 ，
当 时，不妨设 ，由拉格朗日中值定理可知，
存在 ，使得 ，
有 ，又由 ，有 ，
可得 ，
由上知，不等式 成立.
【小问 3 详解】
由 ，有 ，
又由 ，设 ，
有 ，
可得函数 单调递增，
由拉格朗日中值定理可知，存在 ，
使得 ，
同理可知，存在 ，
使得 ，
又由 和函数 单调递增，有 ，
有 ，
由 化简可得 ，
故不等式 成立．万州二中高2023级高二下期期中考试数学试题
注意事项：
1,答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C+C的值为(
)
A9
B18
C24
D30
2.已知A,B是相互独立事件，且P(A)=0.7,P(B)=0.6,则P(AB)=()
A.0.1
B.0.12
C.0.18
D.0.28
3.（x-√)
的二项展开式中x3的系数为()
A.15
B.6
C.-4
D.-13
4.已知函数f(x)=sinx,f"(x)是函数尤e)的号函数，则f()=
A.0
B.-1
C.1
D.5
5.已知函数f(x)=x+(a-2)+x+5有值，则实数Q的取值范用是《)
A.(0,2)
B.（-0,0)U(2,+0)
c.(1,3)
D.（-o0,1)U(3,+00)
6.已知函数f(x)=xnx-2x+a2-a,若f(x)≤0在x∈1，e2上恒成立，则实数的取值范围是()
A.[-12]
B.[o,]
c.[o,2]
D.[-1
7.2022年北京冬奥会圆满结束，万州二中要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报，小亮在书写本届冬奥会的主题“Together
for a Shared Future'”时，只记得Future包含的字母，忘记了正确拼写顺序，请问，小亮乱写，小亮写正确的概率是()
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
360
240
180
480
8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)-f(x)>0,则不等式ef(3x-4)>e2f(x)
的解集为()
A.（2,+o0)
B.(e,+o)C.（-o,e)D.(-oo,2)
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部
分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=x+alnx,则下列结论正确的是()
A.a=
1
时，曲线y=∫(x)的切线斜率最小值为2
1
B.a=二时，f(x)有最大值
2
C.a=-号时，f(x)有两个零点
2
1
D.a=-二时，f(x)有最小值
10.从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有()
A.如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法
B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D.如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
1.知2=1oga,1ogb-()广，则)
A.a+24=b+2b
B.a+b=20+2-@
C.26+1>ea
D.24>e1-
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x-y)(2x-y)5的展开式中，x3y3的系数为
13.若a=nb=三n三C=-上，则它们的大小关系是〈用小于符合，从左到右，从小到大的顺排列)
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