万州二中高 2023 级高二下期期中考试数学试题
注意事项:
1. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.
3. 答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为( A )
A 9 B 18 C 24 D 30
2.已知 是相互独立事件,且 ,则 ( )
A.0.1 B.0.12 C.0.18 D.0.28
【答案】C
【详解】由 可得 ,
又 是相互独立事件,所以 .
故选:C
3. 的二项展开式中 的系数为( )
A. 15 B. 6 C. D.
【详解】 的二项展开式为 ,
令 ,解得 ,
故所求即为 .
故选:B.
4.已知函数 , 是函数 f(x)的导函数,则
A. 0 B. -1 C. 1 D.
,所以 ,故选 A
5. 已知函数 有极值,则实数 a 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由 ,
得 ,
根据题意得 ,
解得 或 ,
所以实数 a 的取值范围是 .
故选:D.
6. 已知函数 ,若 在 上恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ,则 ,其中 ,
令 ,解得 ,令 ,解得 .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
因为 , ,所以, ,
因为 在 上恒成立,所以, ,解得 .
故选:B
7.2022 年北京冬奥会圆满结束,学校要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报,小亮在书写本届冬奥会的主题“Together for a
Shared Future”时,只记得 Future 包含的字母,忘记了正确拼写顺序,请问,小亮乱写,小亮写正确的概率是()
A. B. C. D.
【详解】小亮乱写,共有 种写法,
所以小亮乱写,正确的概率是 .
故选:A
8. 已知定义在 R 上的函数 的导函数为 ,且满足 ,则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】令 ,则 ,所以 在 R 上单调递增,
由 ,得 ,即 ,
又 在 R 上单调递增,所以 ,解得 ,
即不等式 的解集为 .
故选:A.
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分,部
分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则下列结论正确的是( )
A. 时,曲线 的切线斜率最小值为
B. 时, 有最大值
C. 时, 有两个零点
D. 时, 有最小值
【详解】函数 的定义域为 ,且 ,
对于 A 选项,当 时, ,
当且仅当 时,即当 时,等号成立,
所以, 时,曲线 切线斜率最小值为 ,A 对;
对于 B 选项,当 时, 对任意的 恒成立,
所以,当 时,函数 在 上为增函数,则 无最大值,B 错;
对于 CD 选项,当 时, , ,
由 可得 ,由 可得 ,
此时,函数 的减区间为 ,增区间为 ,
则 ,所以, ,
所以,当 时,函数 有最小值,函数 无零点,C 错 D 对.
故选:AD.
10.从 7 名男生和 3 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有( )
A.如果 4 人中男生女生各有 2 人,那么有 63 种不同的选法
B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有 28 种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内,那么有 140 种不同的选法
D.如果 4 人中必须既有男生又有女生,那么有 184 种不同的选法
【答案】ABC
【详解】对于 A,如果 4 人中男生女生各有 2 人,男生的选法有 种,女生的选法有 种,所以共有
种不同的选法.故 A 正确.
对于 B,如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,在剩下的 8 人中再选 2 人即可,
有 种不同的选法,故 B 正确.
对于 C,在 10 人中任选 4 人,有 种不同的选法,甲乙都不在其中的选法有 ,
故男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内的选法有 种,故 C 正确.
对于 D,在 10 人中任选 4 人,有 种不同的选法,只有男生的选法有 种, 10
人中任选 4 人不可能全是女生,故 4 人中必须既有男生又有女生的选法有 种,故 D 错误.
故选:
11.已知 ,则( )
A. B.
C. D.
11.【答案】AD
结合图象和指、对函数之间的关系即可判断 AB;利用切线不等式 即可判断 C;利用不等式 即可判断
D.
【详解】对于 A,
由图可知: 与 交点 ,
与 的交点 ,
根据指数函数与对数函数为一对反函数知:A, 关于 对称,
故 , ,故 A 正确;
对于 B,由 A 知 ,故 B 错误;
对于 C,由 知 ,则 ,设 , ,
则 ,则当 时, ,此时 单调递减;
当 时, ,此时 单调递增;
则 ,则 恒成立,即 ,当 时取等;
令 ,则有 ,因为 ,则 ,即 ,故 C 错误;
对于 D,设 , ,则 ,
则当 时, ,此时 单调递增;
当 时, ,此时 单调递减,
则 ,即 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,当 时取等,
令 ,则 ,即 ,
因为 ,则 ,则 ,故 ,故 D 正确.
故选 AD.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.. 在 的展开式中, 的系数为__-120___
13.若 则它们的大小关系是(用小于符合,从左到右,从小到大的顺序排列)__________
14. 某城市的交通道路如图,从城市的西南角 到城市的东北角 ,经过城市中心广场 ,最近的走法种数有__________种.
【答案】60
【解析】
解决本问题可以分为两步来解决,先查出 A 到 的走法,再查出 到 的走法,相乘即得答案.
【详解】用分步乘法原理解题,分两步,
第一步,由 A 到 ,共走 5 段路,3 横 5 竖,共有 种走法;
第二步,由 到 ,共走 4 段路,2 横 2 竖,共有 种走法
最近的走法种数有 种
故答案为:60
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.设 , ,已知
(1)求实数 的值;
(2)求 的值;
【答案】(1) ;
(2) ;
(3)128.
【详解】(1)根据二项式定理可得 ,
所以 ,解得 ;
(2)由(1)知 ,
令 得
再令 得
所以 ;
16.2024 年 3 月 22 日是第三十二届“世界水日”,3 月 22 日-28 日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识,
加强水资源保护,万州二中举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下: 盒中有 5 个红球,4 个白球, 盒中有 5 个红球,
5 个白球(两盒中的球除颜色外其他都相同).现随机选择一盒,然后从中随机抽取 2 个球,若抽到球的颜色相同,则回答第一
类问题,答对得 2 分,若抽到球的颜色不同,则回答第二类问题,答对得 3 分,两类问题答错均不得分.甲同学参加比赛.
(1) 求甲同学抽到 盒的概率
(2)求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率;
【答案】(1)设事件 “抽到 盒”,事件 “抽到 盒”,
则 ,
“随机抽取两个球,颜色相同”,
, ,
由全概率公式得 ,
所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为 ;
17.某学校派出 6 名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛,分为数学竞赛,物理竞赛和化学竞赛,该校每名同学只能参加其
中一个学科的竞赛,且每个学科至少有一名学生参加.
(1)求该校派出的 6 名学生总共有多少种不同的参赛方案?
(2)若甲同学主攻数学方向,必须选择数学竞赛,乙同学主攻物理方向,必须选择物理竞赛,则这 6 名学生一共有多少种不同的
参赛方案?
【答案】(1)若参加三个学科的人数分别为 1,1,4 时,共有 种参赛方案;
若参加三个学科的人数分别为 1,2,3 时,共有 种参赛方案;
若参加三个学科的人数分别为 2,2,2 时,共有 种参赛方案;
该校派出的 6 名学生总共有 种不同的参赛方案.
(2)若有 4 人选择化学竞赛,则有 1 种参赛方案;
若有 3 人选择化学竞赛,余下的一人有 2 种选法,则有 种参赛方案;
若有 2 人选择化学竞赛,余下的两人各有 2 种选法,则有 种参赛方案;
若有 1 人选择化学竞赛,余下的三人各有 2 种选法,则有 种参赛方案;
所以总共有 种不同的参赛方案.
18. 已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求 的取值范围;
(2)求证: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)求出 的导函数后分类讨论,发现只有 才可能存在两个不同的零点,求出函数 的单调性,则需 的
极大值大于 才能满足题意,由此求出 的取值范围;
(2)由零点定义得到两个方程,变形得到两根之和的等式,通过构造函数证明所求不等式.
小问 1 详解】
由题意知函数 的定义域为 ,导函数为 ,
若 ,则 ,即 在 上单调递增,则 在 上至多一个零点,不合题意舍去;
则必有 ,令 ,得 ,
当 时, ;当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 存在极大值 ,无极小值.
因为当 时, ;当 时, ,
若函数 有两个不同的零点,则 ,解得 ,
所以 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
因为 是函数 有两个不同的零点,不妨设 ,
则 ,
两边取对数得 ,
两式相减得 ,
设 ,则 ,且有 ,解得 ,所以 ,
要证明 ,只需证明 ,即证 ,
故构造函数 ,则 ,
所以 在 上单调递减,所以 ,即 ,
故原不等式 成立.
19. 约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家,拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下:若函数 满足如下条件:
①函数 在区间 上连续(函数图象没有间断);
②函数 在开区间 内可导(导数存在).则在区间 内至少存在一点 ,使得 成立,其中 称为“拉格
朗日中值点”.
(1)求函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数;
(2)对于任意的实数 , ,证明: ;
(3)已知函数 在区间 上满足拉格朗日中值定理的两个条件,当 时,证明:
.
【答案】(1)
(2)证明见解析 (3)证明见解析
【解析】
(1)先求 ,再根据“拉格朗日中值点” 的定义令 ,解方程即可求解;
(2)设 ,分 和 两种情况讨论,利用拉格朗日中值定理有 ,结合 即可求证;
(3)对函数二次求导,利用拉格朗日中值定理,结合函数的单调性即可证明.
【小问 1 详解】
因为 , ,
, ,所以 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
【小问 2 详解】
设 ,有 ,
易知函数 在 上满足拉格朗日中值定理的两个条件,
当 时,显然有 ,
当 时,不妨设 ,由拉格朗日中值定理可知,
存在 ,使得 ,
有 ,又由 ,有 ,
可得 ,
由上知,不等式 成立.
【小问 3 详解】
由 ,有 ,
又由 ,设 ,
有 ,
可得函数 单调递增,
由拉格朗日中值定理可知,存在 ,
使得 ,
同理可知,存在 ,
使得 ,
又由 和函数 单调递增,有 ,
有 ,
由 化简可得 ,
故不等式 成立.万州二中高2023级高二下期期中考试数学试题
注意事项:
1,答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.C+C的值为(
)
A9
B18
C24
D30
2.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=0.7,P(B)=0.6,则P(AB)=()
A.0.1
B.0.12
C.0.18
D.0.28
3.(x-√)
的二项展开式中x3的系数为()
A.15
B.6
C.-4
D.-13
4.已知函数f(x)=sinx,f"(x)是函数尤e)的号函数,则f()=
A.0
B.-1
C.1
D.5
5.已知函数f(x)=x+(a-2)+x+5有值,则实数Q的取值范用是《)
A.(0,2)
B.(-0,0)U(2,+0)
c.(1,3)
D.(-o0,1)U(3,+00)
6.已知函数f(x)=xnx-2x+a2-a,若f(x)≤0在x∈1,e2上恒成立,则实数的取值范围是()
A.[-12]
B.[o,]
c.[o,2]
D.[-1
7.2022年北京冬奥会圆满结束,万州二中要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报,小亮在书写本届冬奥会的主题“Together
for a Shared Future'”时,只记得Future包含的字母,忘记了正确拼写顺序,请问,小亮乱写,小亮写正确的概率是()
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
360
240
180
480
8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)-f(x)>0,则不等式ef(3x-4)>e2f(x)
的解集为()
A.(2,+o0)
B.(e,+o)C.(-o,e)D.(-oo,2)
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部
分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=x+alnx,则下列结论正确的是()
A.a=
1
时,曲线y=∫(x)的切线斜率最小值为2
1
B.a=二时,f(x)有最大值
2
C.a=-号时,f(x)有两个零点
2
1
D.a=-二时,f(x)有最小值
10.从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有()
A.如果4人中男生女生各有2人,那么有63种不同的选法
B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法
D.如果4人中必须既有男生又有女生,那么有184种不同的选法
1.知2=1oga,1ogb-()广,则)
A.a+24=b+2b
B.a+b=20+2-@
C.26+1>ea
D.24>e1-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.在(x-y)(2x-y)5的展开式中,x3y3的系数为
13.若a=nb=三n三C=-上,则它们的大小关系是〈用小于符合,从左到右,从小到大的顺排列)
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