四川省阆中中学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（含答案）

阆中中学校2025年春高2024级期中学习质量检测
数 学 试 题
（满分：150分 时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1． 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2． 已知，则（ ）
A． B． C．- D．
3． 已知平面向量，若，则实数（ ）
A． B．1 C．4 D．或1
4． 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
5． 在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设
，则（ ）．
A． B．
C． D．
6． 在 中，若，则（ ）
A． B． C． D．
7． 如图，在 中，点是的中点，过点的直线分别
交直线，于不同的两点，若，
，，则的最小值（ ）
A．2 B．8
C．9 D．18
8． 已知，函数在上单调递增，且对任意，都有
，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每个小题6分，共18分,全对得6分，部分选对得部分分，选错不得分）
9． 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，，则的取值范围为
C．
D．若，，则
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
11．已知函数若关于的方程有四个实数根，，
，（其中为实数，），则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知，若与的夹角为钝角，则的范围为 ．
13．已知，则 ．
14．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角
为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地
，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 .
四、解答题（共77分）
15．（13分）设两个非零向量与不共线．
（1） 若．求证：A、B、D三点共线；
（2） 若和共线，求实数k的值．
16．（15分）已知，其中
（1） 求；
（2） 求．
17．（15分）已知 的内角的对边分别是，且.
（1） 求；
（2） 若，求 的面积.
18．（17分）已知向量，，函数，
相邻对称轴之间的距离为．
（1） 求的解析式；
（2） 求函数单调递增区间和对称轴方程；
（3） 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得
的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m
的取值范围．
19．（17分）定义：若非零向量，函数的解析式满足，
则称为的伴随函数，为的伴随向量，
若向量为函数的伴随向量，求；
（2） 若函数为向量的伴随函数，在 中，，且
，求证：．
（3） 若函数为向量的伴随函数，关于的方程
在上有且仅有四个不相等的实数根，求
实数的取值范围．
阆中中学校2025年春高2024级期中学习质量检测
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B A A C A AB AC
题号 11
答案 ABD
7．C【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
8．A
【详解】由，得，依题意，
，解得（*）.
又又，则，故由（*）得，时，即①.
由，得，因对任意，都有，
则，解得，
因为，故时，即②. 综合①，②，可得的取值范围为.
9．AB
10．AC
【详解】对于A，函数的周期为，故A正确；
对于B，的单调增区间为，
即，
当时，的单调增区间为，因为，故B错误；
对于C，令，则，故C正确；
对于D，函数向右平移个单位长度得到，故D
11．ABD
【详解】对于A，如图，结合函数的图象，令，得或或，
若直线与函数的图象有4个不同交点，
由图象知，故A正确；
对于B，令，解得，
令时，对称轴为，故与关于对称成立，
由函数的对称性质得，解得，故B正确；
对于D，由题意得，
因为，所以，，
则，得到，
即，得到，整理得，故D正确；
对于C，结合图象可知，于是，
当且仅当时取等，但本题无法取等，解得，
即，因此结合重要不等式得到，故C错误．故选：ABD．
12．
【详解】由向量，且与的夹角为钝角，可得，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为.
13．-1
【详解】将平方可得①，
将平方可得②，
将①②两式相加可得，所以.
14．
【详解】如图所示：
连接，设，作，，垂足分别为．
根据平面几何知识可知，，，．
所以，．
故四边形的面积也为四边形的面积，
即有，其中．
所以当即时，．
15．【详解】（1），，
与共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线．（6分）
（2）和共线，存在实数，使．（9分）
与不是共线的两个非零向量，，即．（13分）
16．【详解】（1）由题意得：，，（4分）
，（7分）
（2），，（11分）
，（13分）
.（15分）
17．【详解】（1）根据正弦定理，
，（4分）因为，所以，因此有，（6分）因为，所以；（7分）
（2）由余弦定理可知：
，解得，（11分）
（舍去），因此 的面积为.（15分）
18．【详解】（1），（1分）
，，（3分）
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以.（5分）
（2）令，则，
所以的单调递增区间为;（8分）
令, 解得,
即的对称轴方程为.（10分）
（3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，（11分）
再向左平移个单位得，（12分）
令，则，所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是（17分）
19．【详解】（1）因为，（2分）
则，故.（4分）
（2）依题意，，
由可得，（5分）
因，则，故，解得.（7分）
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.（10分）
（3）依题意，，
由可得，
即，（12分）
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.（14分）
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根（15分）
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.（17分）