2024-2025学年下学期期中三校联考
高一数学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，则与向量共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C． D．或
3．已知是边长为2的等边三角形，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
4．如图，已知的半径为4，若劣弧长为，则劣弧所对圆周角的正弦的平方为（ ）
A． B． C． D．
5．已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．设的内角的对边分别为，已知，且，则角（ ）
A． B． C． D．
8．我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（ ）
A．8088 B．4044 C．2022 D．1011
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
10．如图，在三棱柱中，，下列结论中正确的有（ ）
A．平面平面
B．直线与所成的角的正切值是
C．三棱锥的外接球的表面积是
D．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍
11．已知函数，且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为 .
13．已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围 ．
14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心 内心 外心 垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点,的面积分别为，.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称.
(1)若在区间上的值域为，求的值；
(2)在（1）的条件下，解关于的不等式.
16．的内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)证明：．
(2)若，，求的面积．
17．如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的大小.
18．已知向量，函数.
(1)若，求的值；
(2)已知是锐角三角形，角所对应的边分别为，，求的取值范围.
19．函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明譬如都是凸函数．Johan Jensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数，均有成立，当且仅当时等号成立．
(1)若函数为上的凸函数，求的取值范围：
(2)在中，求的最小值；
(3)若连续函数的定义域和值域都是，且对于任意均满足下述两个不等式：，证明：函数为上的凸函数．（注：）2024-2025学年下学期期中三校联考
高一数学答案
一 选择题：
1.D 2.D 3．D 4．C 5．A 6．A. 7.B. 8．B.
二、多选题
9．AD 10．ABC. 11．BC
三、填空题
12． 13．. 14．.
四、解答题
15．(1) (2)
（1）由题知，是的反函数，，故. ……2分
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递减，于是在上单调递减，故，此时不成立；
…………4分
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递增，在上单调递增，故，此时成立. …………6分
由（1）知，，为定义在的增函数， …………7分
根据，定义域满足：，解得. …………10分
由单调性和可得，，整理得，结合可知，
…………13分
16．(1)证明见解析 (2)
（1）由，根据正弦定理可得，……2分
，
，， ……4分
由，则，解得或（舍去），
所以. …………6分
由正弦定理可得，即，，
解得， …………8分
由余弦定理可得，则， …………10分
整理可得，分解因式可得，解得或 …12分
当时，，由，解得，，不合题意；
当时，的面积. ……15分
17．(1)证明见解析(2)(3)
（1）如图，取中点，连接，
由于分别为的中点，故，且，
又，可得，且，
故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面平面，
所以平面. …………4分
（2）因为为的中点，所以，
因为底面，所以，
即. …………9分
（3）因为底面底面，
又平面，
平面.
又平面.
为的中点，
，
又 平面，平面，
直线在平面内的射影为直线，
故为直线与平面所成的角，
由底面底面可得，，
为等腰直角三角形，且平分，
，
所以直线与平面所成的角为. …………15分
18．(1)(2)
（1）向量，
则函数，
………2分
因为，
所以，所以. …………4分
…………7分
（2）由（1）得，，
.
由，得， …………9分
因为是锐角三角形，所以或. …………11分
①当时，，
由可得，
由正弦定理得
，
令，因为，所以.
在上单调递增，
当时，，当时，，
故，即. …………16分
②当时，，则，与已知矛盾.
综上所述，的取值范围是. …………17分
19．(1)；(2)；
（1）由凸函数的定义有
故． …………4分
（2）由基本不等式有
， …………6分
当且仅当时取等号．
由Jensen不等式有， …………8分
从而有，即，
当且仅当时取等号．
故的最小值为． …………10分
（3）证明：
，
从而，进而有，
所以函数为上的凸函数． …………17分
