宜昌市部分省级示范高中2025春季学期高一年级
期中考试数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B B C C D B ACD BC BCD
题号 12 13 14
答案
8.【答案】B
【解析】，，
，在上无零点，且，
最小正周期，且，
，且，，当时，，
当时，，综上，的取值范围为
11.【答案】BCD
【解析】解：取，则，，因此，故A不正确；
B.设，则，，，，
则，因此，故B正确；
C.设，当时，，
此时，当时，，
此时，综合可得，C正确；
D.不等式，可得：，或，
，或，因此不等式的解集为或，故D正确．
15．（13分）已知向量，满足，，且与的夹角为
1若，求实数的值;
2求与的夹角的余弦值.
【答案】解：1因为，所以，
即，即，
所以，解得； （6分）
2因为，
，
所以，
即与的夹角的余弦值为 （13分）
16．（15分）（1）已知均为锐角且，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）
（7分）
即又
即 （15分）
17（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求角A；
若，BC边上的中线，求的面积及BC边上的高．
【答案】解：由已知得
(7分）
因为，两边同时平方得，
即，解得负值舍去，的面积
由余弦定理得，所以
设BC边上的高为，因为的面积，
所以 (15分）
18.（17分）已知，，函数，的最小正周期为
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求的最值及取到最值时x的值；
（3）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围,并求的值.
【答案】解：（1）
，的最小正周期为，
，，，
由，，解得：，，
单调递增区间为 （5分）
令，，可得，即，
由图象可得：当，即时，取得最大值1；
当，即时，取得最小值 （11分）
函数所在上有两个不同的零点，
转化为函数与函数有两个交点，由（2）可知时，函数与函数有两个交点，其横坐标分别为，故得实数m的取值范围是
由题意可知是关于对称轴是对称的，关于对称轴，即
，
即 . （17分）
19.（17分）意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用。在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中a、b为非零实数。
(1)当时，用单调性的定义证明：在上是单调递增函数；
(2)在（1）的条件下，若不等式对恒成立，求实数m的取值范围.
(3)若为奇函数，函数，，探究是否存在实数a，使的最小值为 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：当时，，
在任取，则
因为，所以，，则有，，所以，即，所以在上单调递增． （4分）
的定义域为R，，为偶函数，
在上单调递增，故上单调递减，
不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
故在上恒成立，
令，而
，故当时，，
，故当时，，
的取值范围为 （12分）
（3）为奇函数，，即，得，，．
令，，由函数在上单调递增，有，
则可化为，．
假设存在实数，使即的最小值为，结合二次函数的性质可知，
当，即时，在上单调递增，，不符合要求；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，此时；
当，即时，在上单调递减，，
此时，不满足．
综上，当时，的最小值为． （17分）宜昌市部分省级示范高中2025春季学期高一年级
期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角，，所对的边分别为，，， ，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
8．函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，可以作为基底，则 B．若，则
C．若在上的投影向量为，则 D．若与的夹角为，则或9
10．函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数
11．设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按取整函数进行计费，以下关于取整函数的描述正确的是（ ）
A．， B．，，若，则
C．， D．不等式的解集为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，则的值为_____．
13．在中，，，，分别为，的中点，则的值为 ．
14．记的内角，，所对的边分别为，，，已知，点在边上，若，，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，满足，，且与的夹角为．
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值．
16．（15分）（1）已知，均为锐角且，，求的值；
（2）已知，，求的值．
17．（15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，边上的中线，求的面积及BC边上的高．
18．（17分）已知，，函数，的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求的最值及取到最值时x的值；
（3）若函数在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围，并求的值．
19．（17分）意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数．
（1）利用单调性定义证明：当时，在上单调递增；
（2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
