山西省阳泉市第一中学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（含答案）

阳泉一中2024-2025学年第二学期高一年级期中考试试题
数学学科
考试时长：120 分钟 总分：150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
2．已知复数的实部与虚部相等，则（ ）
A． B． C． D．
3．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若，，且，则x的值为（ ）
A．1 B． C．或0 D．或1
5．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．记中的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B．的周长为
C． D．外接圆的面积为
10．已知向量，，是与同向的单位向量，则（ ）
A． B．与可以作为一组基底
C． D．向量在向量上的投影向量为
11．已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点（含边界），，其中，则下列选项中正确的是（ ）．
A．时，则的最小值为
B．时，则的最大值为4
C．时，则
D．时，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
已知复数z的模为2，则的最大值为 ．
13．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，则四边形ABCD的面积为 .
（第13题图） （第14题图）
14．（第1空2分，第2空3分）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知复数，其中.
(1)若，求的值；
(2)若对应的点在第一象限，求的取值范围.
16．（15分）已知向量．
(1)求向量与的夹角的大小；
(2)若向量，求实数的值；
17．（15分）如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．
(1)若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；
(2)若，，，求四面体外接球的表面积．
（第17题图） （第18题图）
18.（17分）梯形中，，，，．
(1)求；
(2)若的面积为8，求的长．
19．（17分）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.

(1)若点为边上的中点，
（i）用，表示，；
（ii）求，，，及的余弦值；
(2)求的取值范围.
阳泉一中2024-2025年第二学期高一期中考试数学答案
单选题
1-8：D B C A C A A B
多选题
ABD 10.BCD 11.ABC
填空题
3
6
96
解答题
（1）由，得，解得或.
（2）由对应的点在第一象限，得.
解得且
所以的取值范围为
16.
（1）（1）由向量，得，
于是，而，
所以.
（2）由向量，得，，
由，得，解得，
所以实数的值是.
17.（1）若四面体各棱长均为，
则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，
所以，
；
（2）由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，
所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，
设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，
则，解得，
设长方体外接球的半径为，则，则，
所以外接球的表面积为．
18.（1），，，中，由正弦定理，得
，为锐角，．
（2），
．，
由，．
在中，由余弦定理，得
．
19.（1）（i）由点为的中点，点为的中点，
可得，；
（ii）由，，，
则，，
可得
；
由，
可得；
由，
可得；
；
（2），
设，由题意可知，，
由此得到，
由，，可得，