重庆市字水中学2024-2025学年高一下学期4月学情调研数学试题(含详解)

重庆市字水中学2024 2025学年高一下学期4月学情调研数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知角，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，则（ ）
A．-1 B．2 C．0 D．-2
4．在中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．把函数的图像上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，所得的图像的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则与的夹角的范围是
C．若是等边三角形，则、的夹角为
D．若，，则
10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数与，的图象的所有交点的横坐标之和为
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是周期函数 B．最大值为1
C．关于对称 D．最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数 .
13．若函数在区间内至少有3个零点，则的最小值是 .
14．已知平面上三个不同的单位向量、、满足，若为平面内任意单位向量，则的最大值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，是两个不共线的向量，已知，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若，且，求实数的值.
16．已知，，，
(1)求：
(2)求向量在方向上的投影向量.
17．已知函数的最小正周期为，且.
(1)求函数的解析式，并写出取最大值时相应的取值集合：
(2)求函数，的单调递减区间：
18．已知函数.
(1)已知，求的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，.
(1)若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）；
(2)当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求
(3)设，若对恒成立，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为,
所以角与角终边相同，
又因为
所以角在第三象限.
故选C.
2．【答案】A
【详解】若，则，共线，故充分性成立；
若，共线，不一定得到，
如，，显然满足，共线，
但是不存在实数使得，故必要性不成立；
所以“”是“，共线”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】D
【详解】因为，
所以，
故选D.
4．【答案】B
【详解】如图，为的中点，为的中点，

所以.
故选B.
5．【答案】C
【详解】将函数的图像上所有点向右平行移动个单位长度，得到解析式，
再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得到解析式.
故选C.
6．【答案】B
【详解】因为，且，
所以，，所以
所以.
故选B.
7．【答案】D
【详解】根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若，
则有，变形可得,
由数乘的定义，有.
故选D.
8．【答案】C
【详解】
所以.
故选C.
9．【答案】AB
【详解】对于A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确；
对于B，因为，所以，又，所以，故B正确；
对于C，若是等边三角形，则、的夹角为，故C错误；
对于D，若，则满足，，但不一定共线，故D错误.
故选AB.
10．【答案】ACD
【详解】由函数的部分图象知，
，且，
所以，所以，
又，
所以，即，
又，所以，
所以.
对于A，当时，，
所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，当时，，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，令，得，则在区间上单调递增，故C正确；
对于D，由，可得，
结合正弦函数图象，可得函数与有4个交点，
令，解得；令，解得；

其中关于对称，关于对称，
所以，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【详解】
则为的周期，故A正确；
，
则是的对称轴，故C正确；
令，则，
则，对称轴为，
故的最小值为，最大值为，故B错误；D正确.
故选ACD
12．【答案】/0.25
【详解】因为向量与的夹角为60°，，，
由知，
所以，
所以，解得.
13．【答案】
【详解】由，可得，结合正弦函数图象可知，，
则的最小值为.

14．【答案】
【详解】因为，且、、为单位向量，
所以，
因为
所以与与的夹角为，易得与的夹角为，
所以.
设，
由题意得
，
，
又因为,
所以，
所以最大值为.
15．【答案】(1)证明见解析；
(2)实数的值为9.
【详解】（1）由，，，
所以，
所以，
所以、共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
（2）由，且，
所以，
即，
所以，所以，
所以实数的值为9.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以，所以，所以.
（2），
所以在方向上的投影向量为.
17．【答案】(1)；取最大值2时，的取值集合为.
(2)，
【详解】（1）因为的最小正周期为，所以，
所以，，
所以，即，
当，即时，取最大值2，
即取最大值2时，的取值集合为.
（2）依题意得，
若单调递减，则，
所以，
又，
令，得其减区间为，.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以，
所以
.
（2）当时, ，可得，
由不等式恒成立，可得不等式恒成立，
所以，
所以当时，取到最大值，，
所以.
故实数的取值范围为.
19．【答案】(1)向量的仿射坐标为；其中一个“完美向量”的仿射坐标为.
(2)
(3)
【详解】（1），
所以向量的仿射坐标为.
其中一个“完美向量”的仿射坐标为.
（2）因为当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，
所以，
由题意得，则，，
可得，，
故，，
所以，，
所以
，
所以.
（3）因为，
，
，
因为，所以，
所以对恒成立，
又因为，所以，
得，
此时，
因为，，且，
所以，
所以，
所以的最大值为.