期中阶段复习卷（含解析）2024-2025学年数学八年级下册沪科版

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期中阶段复习卷-2024-2025学年数学八年级下册沪科版
一、单选题
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
3．设一元二次方程的两个根为，，则（ ）
A． B．3 C．5 D．7
4．已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是，其中（ ）
A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题
C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题
5．已知为实数，设，则的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．6
6．近年来，随着智能手表的普及，传统机械表销量有所下降，某品牌机械表今年月售价为元，月降至元．设该手表售价每月平均下降的百分比为，则正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下个结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．若代数式有意义，则x的取值范围为 .
10．比较与的大小关系是： （填“>”或“<”）．
11．方程的解是 ．
12．“渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．根据题意，列出方程为 ．
13．已知关于的方程（为常数，）的解是，那么
（）方程解为 ；
（）解为 ．
14．《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺）
15．如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为 ．
16．阅读材料：
小华在学习分式运算时，发现：，，，…
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现：
；；
；……
如果的小数部分为，那么整数部分为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．先化简，再求值：，其中．
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
21．如图，正方形的面积为50，正方形的面积为242．
(1)求正方形和正方形的边长；
(2)求阴影部分的面积．
22．遂宁市凭借独特的观音文化和迷人的自然景观，如灵泉寺、观音湖等，大力推进“引客入遂”战略，旅游产业蓬勃发展．2023年“灵泉寺-观音湖”旅游环线接待游客50万人次．景区通过不断完善设施与丰富文化活动，去年游客接待量在2023年增长的基础上再次增长，且这两年的增长率相同，预计今年（2025年）共接待游客72万人次．
(1)求该旅游环线游客接待量的年平均增长率．
(2)为了满足游客需求，遂宁市准备在旅游旺季为“灵泉寺-观音湖”旅游环线调配A、B两种类型的观光巴士．A型巴士可载30人，租金为每趟400元；B型巴士可载20人，租金为每趟300元．某节假日预计该旅游环线游客量有200人，调配巴士的预算最多为2800元．问有几种调配方案，怎样调配能使租车费用最低，最低费用是多少？
23．已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．
(1)求证：；
(2)连接，与之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由．
24．【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．
（1）求证：，；
（2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
《期中阶段复习卷-2024-2025学年数学八年级下册沪科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B B D A A
1．D
【分析】本题主要考查二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．根据二次根式的概念：形如，由此问题可求解．
【详解】解：A、由可知无意义，故不符合题意；
B、不是二次根式，故不符合题意；
C、当时，无意义，故不符合题意；
D、由可知是二次根式，故符合题意；
故选D．
2．C
【分析】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
先将式子化简，再利用相近的数估算化简后式子的值的范围．
【详解】解：
，
，即，
，即，
两边同时减去2，得到，即，
又更接近4（比大一点），所以更接近2，
其值2和3之间．
故选C．
3．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
则，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的两根为，，可得，根据可得：；一元二次方程的两根为，，可得：，，从而可得：，根据平方的非负性可知的最小值是.
【详解】解：一元二次方程的两根为，，
，
，
，
；
故是真命题；
一元二次方程的两根为，，
，，
，，，
，，
，
的最小值是，
故是假命题．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
上式表示与之间的距离，
，
上式表示与之间的距离，
由勾股定理得，
结合三角形三边关系得的最大值是点B和点C的距离，即的最大值，
故选：B．
6．D
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设该手表售价每月平均下降的百分比为，根据题意列出一元二次方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设该手表售价每月平均下降的百分比为，
依题意得：，
故选：．
7．A
【分析】本题主要考查了平均数及二次根式的运算．根据平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：由题意，得，，
则．
又，
∴，
∴．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键．连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，根据全等三角形的性质，进而判断①②③，根据垂线段最短，当正三角形的边与垂直时，边最短，进而计算，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
四边形为菱形，，
，，
和为等边三角形，
，，
，即
又
在和中
，
，；故①正确
是等边三角形，故②正确；
四边形为菱形，
，
，故③正确；
④由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短
的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，
又，正三角形的高为
的面积则此时的面积就会最大．
，故④正确；
∴正确的结论为：①②③④．
故选：A．
9．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
10．<
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是比较两数的平方的大小．由，，即可求出．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
11．或
【分析】本题考查了解三次根式的性质，设，，则，，再由得，即可求出、，得或，再根据三次根式的性质解方程即可．
【详解】解：设，，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴、是方程的两个根，
解得或，
∴或，
解，得，
解，得，
即方程的解是或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．再结合“第二季度就突破到纯利润为23万元”列出一元二次方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．
根据题意，列出方程为，
故答案为：．
13． ， ，
【分析】（）把方程变形为，再根据方程解的定义可得或，进而即可求解；
（）把方程变形为，再根据方程解的定义可得或，进而即可求解；
本题考查了一元二次方程解的定义，正确对方程进行变形是解题的关键．
【详解】解：（）方程变形为，
∵方程的解是，
∴或，
∴，，
故答案为：，；
（）方程变形为，
∵方程的解是，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
14．8
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，此题得解．
【详解】解：∵一根竹子原来高尺，设折断处离地面的高度为x尺，
∴竹梢到折断处的长度为尺，
依题意得：，
解得：，
∴折断处离地面8尺．
故答案为：8．
15．4
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
连接，则的长度即为与和的最小值．利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，推导出，再利用利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，进而得到．
【详解】解：如连接，与交于点，此时最小，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
即就是的最小值，
∵是等边三角形，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
故答案为：4．
16．19
【分析】本题考查二次根式的混合运算．由二次根式的运算规律，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可．
【详解】解：∵；
；
；
……，
∴，
∴
，
∵结果的小数部分，即，
解得，
经检验，是该分式方程的解，
∴结果的整数部分为19．
故答案为：19．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）利用乘法分配律展开在化简即可；
（2）先利用乘法分配律和化简除法，然后在计算加减即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19．(1)
(2)，．
【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．
（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可，最后进行检验；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
∴，
解得：，
经检验：为原分式方程的解；
（2）解：
移项，得：，
配方，得：，
，
或，
解得：，．
20．(1)见解析
(2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键．
（1）根据根的判别式解答即可；．
（2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可．
【详解】（1）证明：∵
．
∴该方程有两个实数根．
（2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下：
由求根公式，得：，
即，，
∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数，
∴必为正整数，
∴或，
即当或时，该方程的两个实数根均为正整数．
21．(1)正方形的边长为，正方形ECFG的边长为
(2)493
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的应用，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键．
（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可；
（2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形和直角三角形的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：∵正方形的面积为50，正方形的面积为242，
∴正方形的边长为，正方形ECFG的边长为．
（2）解：阴影部分的面积为：
，
答：阴影部分的面积是493．
22．(1)该旅游环线游客接待量的年平均增长率为20%
(2)有三种方案，调配A型6辆，B型1辆时费用最低，最低费用为2700元．
【分析】本题主要考查了列一元二次方程求增长率问题，和利用不等式组解决方案问题．正确的列出方程和不等式组是解题的关键．
（1）设该旅游环线游客接待量的年平均增长率为x．根据题意列一元二次方求解即可．
（2）设A型巴士调配m辆，根据题意列不等式组，求出m的范围为，找出m整数解为 4、5、6，因此有三种方案．分别求出三种方案所需费用，即可知最低费用．
【详解】（1）解：设该旅游环线游客接待量的年平均增长率为x，
根据题意可得，
解之得，（不合题意，应舍去）．
答：该旅游环线游客接待量的年平均增长率为．
（2）解：设A型巴士调配m辆，
根据题意可列不等式组，
解之得，
因为m为A型巴士的辆数，应为整数，所以x可取的值只能是4、5、6即对应三种方案．
方案 A型巴士 B型巴士 费用
一 4 4 元
二 5 3 元
三 6 1 元
从上表可以看出，，所以方案三，即调配A型6辆，B型1辆时费用最低，最低费用为2700元．
23．(1)见解析
(2)，，见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角，三角形的内角和定理等可求出，然后根据角平分线的性质即可得证；
（2）根据含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的定义等可得，根据三线合一的性质，在中，根据含角的直角三角形的性质得出，在中，由勾股定理得，，证明为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：，，
理由：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．
24．（1）见解析；（2）方法一：；方法二：；见解析；（3）
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意，通过证明即可判断得解；
（2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解；
（3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，，则求出后可列式计算得解．
【详解】（1）证明∶ ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又， ，
∴．
∴；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
（3）由题意，如图，
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，
，
设则，
在中， ，
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为：．
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