人教新课标A版必修1数学1.2.2函数的表示法同步检测

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1.2.2函数的表示法同步检测
1、函数y=2x﹣x2的图象大致是（　　）
A、
B、
C、
D、
答案：A
解析：解答：因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C；
当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D，
所以选A．
分析：充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数的零点2，4；函数的特殊函数值f（﹣2）符号加以解决即可．
2. 设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（　　）
A、3 B、2
C、1 D、﹣1
答案：A
解析：解答：|x+1|、|x﹣a|在数轴上表示点x到点﹣1、a的距离，
他们的和f（x）=|x+1|+|x﹣a|关于x=1对称，
因此点﹣1、a关于x=1对称，
所以a=3
故选A
分析：函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|的图象为轴对称图形，其对称轴是直线x=，可利用这个性质快速解决问题
3. 将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象，则a等于（　　）
A、（﹣1，﹣1） B、（1，﹣1）
C、（1，1） D、（﹣1，1）
答案：A
解析：解答：设=（h，k）则
函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x﹣h+1+k
∴
∴
∴=（﹣1，﹣1）
故选A
分析：本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题．依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象，需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故
4. 若函数y=f（x）的图象按向量a平移后，得到函数y=f（x+1）﹣2的图象，则向量a=（　　）
A、（﹣1，﹣2） B、（1，﹣2）
C、（﹣1，2） D、（1，2）
答案：A
解析：解答：设=（h，k）则由移公式得：
函数y=f（x）的图象平移后对应的解析式为：y=f（x﹣h）+k
则
∴
=（﹣1，﹣2），
故选A
分析：使用待定系数法，先设出平移向量，再根据其它已知条件列出方程（组），解方程（组）即可求出平移向量．
5.图中的图象所表示的函数的解析式为（　　）
A、y=|x﹣1|（0≤x≤2） B、y=﹣|x﹣1|（0≤x≤2）
C、y=﹣|x﹣1|（0≤x≤2） D、y=1﹣|x﹣1|（0≤x≤2）
答案：B
解析：解答：由已知函数图象易得：
点（0，0）、（1、）在函数图象上
将点（0，0）代入可排除A、C
将（1、）代入可排除D
故选B．
分析：求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法．
6. 某地一天内的气温Q（t）（单位：℃）与时刻t（单位：时）之间的关系如图所示，令C（t）表示时间段[0，t]内的温差（即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差）．C（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（　　）
A、
B、
C、
D、
答案：D
解析：解答：根据气温Q（t）（单位：℃）与时刻t（单位：时）之间的关系如图，
t=0时，C（t）=0，在[0，4]上，C（t）不断增大； 在[4，8]上，C（t）是个定值，
在[8，12]上，C（t）不断增大； 在[12，20]上，C（t）是个定值，
在[20，24]上，C（t）不断增大．
故答案选 D．
分析：根据题意，分析函数图象的特征，可得函数C（t）过原点，在[0，4]、[8，12]、[20，24]上，C（t）不断增大；在[12，20]、[4，8]上，C（t）是个定值，分析选项可得答案．
7.将抛物线y2=4x沿向量平移得到抛物线y2﹣4y=4x，则向量为（　　）
A、（﹣1，2） B、（1，﹣2）
C、（﹣4，2） D、（4，﹣2）
答案：A
解析：解答：设=（h，k），由平移公式得
代入y2=4x得
（y'﹣k）2=4（x'﹣h），y'2﹣2ky'=4x'﹣4h﹣k2，
即y2﹣2ky=4x﹣4h﹣k2，
∴k=2，h=﹣1．
∴=（﹣1，2）．
故选：A
分析：由y2﹣4y=4x，配方得（y﹣2）2=4（x+1）根据，曲线图象平移法则，“左加右减，上减下加”的原则，我们易确定出平移的方向和平移量的大小，进而求出平移向量的坐标．
8.已知g（x2+1）=x4+x2﹣6，那么g（x2+1）的最小值为（　　）
A、g（0） B、g（1）﹣
C、g（1）+ D、g（1）
答案：D
解析：解答：由题意知
令x2+1=t（t≥1），即x2=t﹣1
∴g（t）=（t﹣1）2+（t﹣1）﹣6=t2﹣t﹣6
=
∴g（t）在上单调递增函数，
又∵t=x2+1 即t≥1
∴g（t）在[1，+∞）也是单调递增函数
即g（x2+1）=g（t）的最小值为g（1）．
故选D
分析：先利用换元法求函数g（x）的解析式，发现g（x）是关于x的一元二次函数，再用配方法求函数最小值即可．
9. 根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（　　）
A、75，25 B、75，16
C、60，25 D、60，16
答案：D
解析：解答：由题意可得：f（A）==15，
所以c=15
而f（4）==30，可得出=30
故=4，可得A=16
从而c=15=60
故答案为D
分析：首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4） 要用x＜A对应的表达式，将方程组联解，可以求出C、A的值．
10. 已知f（）=，则f（x）的解析式为（　　）
A、f（x）= B、f（x）=﹣
C、f（x）= D、f（x）=﹣
答案：C
解析：解答：令=t，
得x=，
∴f（t）==，
∴f（x）=．
故选C
分析：本题考查的知识点是函数解析式的求法，由于已知条件中f（）=，给定的是一个复合函数的解析式，故可用换元法或凑配法解答，但由于内函数为分式形式，凑配起来难度较大，故本题采用换元法解题．
11. 如果，则当x≠0且x≠1时，f（x）=（　　）
A、 B、
C、 D、
答案：B
解析：解答：令，则x=
∵
∴f（t）=，
化简得：f（t）=
即f（x）=
故选B
分析：令，则x=，代入到，即得到f（t）=，化简得：f（t）=，在将t换成x即可．
12.中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后（2006年）售价为y万元，每年下调率平均为x%，那么y和x的函数关系式为（　　）
A、y=30（1﹣x%）6 B、y=30（1+x%）6
C、y=30（1﹣x%）5 D、y=30（1+x%）5
答案：C
解析：解答：每年价格为上一年的（1﹣x%）倍，所以五年后的价格为y=30（1﹣x%）5．
故选C
分析：由题意，每年价格为上一年的（1﹣x%）倍，y与x的关系应为指数型函数．
13.已知函数，则f（0）等于（　　）
A、﹣3 B、
C、 D、3
答案：D
解析：解答：令g（x）=1﹣2x=0
则x=
则f（0）===3
故选D
分析：由已知中函数，要求f（0）的值，可令g（x）=0，求出对应x值后，代入可得答案．
14.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的最小值为0，且满足条件①f（x﹣4）=f（2﹣x），②对任意的x∈R有f（x）≥x，当x∈（0，2）时，，那么f（a）+f（c）﹣f（b）的值为（　　）
A、0 B、
C、 D、1
答案：B
解析：解答：由次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的最小值为0得：b2﹣4ac=0；
由f（x）≥x，当x∈（0，2）时，得到f（1）=1即a+b+c=1；
由令x=4得，f（1）=1得2a=b得对称轴为x=﹣1；
联立得：a=c=，b=；则f（a）+f（c）﹣f（b）=2f（）﹣f（）=
故答案为B．
分析：由二次函数的最小值为0得=0，由f（x）≥x，当x∈（0，2）时，得到f（1）=1，根据令x=4得2a=b即对称轴为x=﹣1联立可得a、b、c的值．
15.已知f（x+1）=x2﹣5x+4，则f（x）等于（　　）
A、x2﹣5x+3 B、x2﹣7x+10
C、x2﹣7x﹣10 D、x2﹣4x+6
答案：B
解析：解答：∵f（x+1）=x2﹣5x+4=[（x+1）﹣1]2﹣5[（x+1）﹣1]+4=（x+1）2﹣7（x+1）+10
∴令t=x+1，则f（t）=t2﹣7t+10
∴f（x）=x2﹣7x+10
故选B
分析：由f（x+1）=x2﹣5x+4通过配方得f（x+1）=（x+1）2﹣7（x+1）+10，然后利用换元可得f（x）的解析式．
16. 把函数y=f（2x）经过　 　平移得到函数y=f（2x+4）的图象．
答案：向左2个单位
解析：解答：设函数y=f（2x）向左平移m个单位后，
得到函数y=f（2x+4）的图象
则2（x+m）=2x+4
解得m=2
即函数y=f（2x）向左平移2个单位后，
得到函数y=f（2x+4）的图象
故答案为：向左2个单位
分析：根据平移变换“左加右减”的原则，我们可以设函数y=f（2x）向左平移m个单位后，得到函数y=f（2x+4）的图象，则我们可以得到一个关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到平移方式．
17. 设a，b∈R，且b≠1．若函数y=a|x﹣1|+b的图象与直线y=x恒有公共点，则a，b应满足的条件是　 　．
答案：b＜1，a＞﹣1或b＞1，a＜1
解析：解答：作出函数 y=a|x﹣1|+b的图象，如右图所示：
函数y=a|x﹣1|+b的图象过（1，b）且关于x=1对称 b＞1时，（1，b）在y=x的上方，
当a≥1时，函数y=a|x﹣1|+b的图象与y=x无交点即：a＜1，b＞1时恒有交点．同理可得：a＞﹣1，b＜1时恒有交点则a，b应满足的条件是b＜1，a＞﹣1或b＞1，a＜1
故答案为：b＜1，a＞﹣1或b＞1，a＜1．
分析：首先根据曲线y=a|x﹣1|+b的解析式，做出其图象，进而根据图象判断出何时函数y=a|x﹣1|+b的图象与直线y=x恒有公共点．
18.已知f（2x）=x2﹣1，则f（x）=　 　．
答案：x2﹣1
解析：解答：由f（2x）=x2﹣1，
得到f（2x）=（2x）2﹣1
故f（x）=x2﹣1
故答案为：x2﹣1．
分析：利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别．
19. 若函数f（x）=a|x﹣b|+c满足①函数f（x）的图象关于x=1对称；②在R上有大于零的最大值；③函数f（x）的图象过点（0，1）；④a，b，c∈Z，试写出一组符合要求的a，b，c的值　 　．
答案：满足b=1，a+c=1，a＜0，c＞0，a，b，c∈z皆可
解析：解答：∵函数f（x）=a|x﹣b|+c满足①函数f（x）的图象关于x=1对称
∴b=1；
∵函数f（x）=a|x﹣b|+c满足②在R上有大于零的最大值；
∴a＜0，c＞0；
∵函数f（x）=a|x﹣b|+c满足③函数f（x）的图象过点（0，1）；
∴a+c=1；
故试写出一组满足b=1，a+c=1，a＜0，c＞0，a，b，c∈z要求的a，b，c的值皆可．
故答案为：满足b=1，a+c=1，a＜0，c＞0，a，b，c∈z皆可．
分析：先根据函数f（x）=a|x﹣b|+c满足①函数f（x）的图象关于x=1对称得出b=1；再依据函数f（x）=a|x﹣b|+c满足②在R上有大于零的最大值；得到a＜0，c＞0；最后由函数f（x）=a|x﹣b|+c满足③函数f（x）的图象过点（0，1）；有：a+c=1；从而得出满足要求的a，b，c的值即可．
20.已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a﹣b=　 　．
答案：2
解析：解答：由f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，得
（ax+b）2+4（ax+b）+3=x2+10x+24，
即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24．
比较系数得
求得a=﹣1，b=﹣7，或a=1，b=3，则5a﹣b=2．
故答案为2
分析：将ax+b代入函数f（x）的解析式求出f（ax+b），代入已知等式，令等式左右两边的对应项的系数相等，列出方程组，求出a，b的值．
21. 已知一个球的半径为R，一个平面截该球所得小圆的半径为r，该小圆圆心到球心的距离为d，则d关于r的函数解析式为　 ．
答案： ，r∈（0，R）
解析：解答：如图，由已知小圆O1半径为O1M=r，又OO1=d，
∴在由小圆半径，球的半径及小圆圆心到球心的距离为构成的直角三角形中，
有：，r∈（0，R）
故答案为：，r∈（0，R）．
分析：先根据题意画出图形，由小圆半径，球的半径及小圆圆心到球心的距离为构成直角三角形，即可得出d关于r的函数解析式．
22.作出函数y=x﹣|x﹣1|的图象．
答案：
解析：解答：根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数
可见其图象是由两条射线组成，如图
分析：要做出y=x﹣|x﹣1|的图象，我们可根据绝对值的定义，先将函数的解析式化为分段函数，再利用分段函数图象分段画的原则，进行处理．
23.函数y=ax3﹣x2+cx（a≠0）的图象如图所示，它与x轴仅有两个公共点O（0，0）与A（xA，0）（xA＞0）；
（1）用反证法证明常数c≠0；
答案：假设c=0，则y=ax3﹣x2=x2（ax﹣1）；
∴这与图象所给的：
当0＜x＜xA时，f（x）＞0矛盾，∴c≠0
（2）如果，求函数的解析式．
答案：由（1）知c≠0，∴y=x（ax2﹣x+c）
∵图象与x轴仅有两个公共点，
∴方程ax2﹣x+c=0（a≠0）有二等根．
由韦达定理，∴，∴
解析：解答：（1）假设c=0，则y=ax3﹣x2=x2（ax﹣1）；
∴这与图象所给的：
当0＜x＜xA时，f（x）＞0矛盾，∴c≠0
（2）由（1）知c≠0，∴y=x（ax2﹣x+c）
∵图象与x轴仅有两个公共点，
∴方程ax2﹣x+c=0（a≠0）有二等根．
由韦达定理，∴，∴
分析：（1）根据反证明法的证明方法，先假设c=0，则y=ax3﹣x2=x2（ax﹣1），这与图象所给的矛盾，从而得出c≠0；
（2）由（1）知c≠0，得出y=x（ax2﹣x+c），图象与x轴仅有两个公共点，得出方程ax2﹣x+c=0（a≠0）有二等根．
24.已知f（x）为一次函数，若f[f（x）]=4x+8，求f（x）的解析式．
答案：设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），
则f[f（x）]=af（x）+b=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，
又f（x）=4x+8，
则有a2x+ab+b=4x+8，得或，
故所求函数的解析式为：或f（x）=﹣2x﹣8．
解析：解答：设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），
则f[f（x）]=af（x）+b=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，
又f（x）=4x+8，
则有a2x+ab+b=4x+8，得或，
故所求函数的解析式为：或f（x）=﹣2x﹣8．
分析：由题意知，f（x）为一次函数，故可设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），利用函数解析式求得f[f（x）]=af（x）+b=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，结合待定系数法列出关于a，b的方程，求得a，b．最后写出所求函数的解析式即可．
25. 设f（x）为二次函数，且f（1）=1，f（x+1）﹣f（x）=1﹣4x．求f（x）的解析式．
答案：设f（x）=ax2+bx+c
则f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b，
∵f（x+1）﹣f（x）=1﹣4x
∴2ax+a+b=1﹣4x对一切x∈R成立．
∴
∴，
又∵f（1）=1，
∴a+b+c=1，
∴c=0．
∴f（x）=﹣2x2+3x
解析：解答：设f（x）=ax2+bx+c
则f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b，
∵f（x+1）﹣f（x）=1﹣4x
∴2ax+a+b=1﹣4x对一切x∈R成立．
∴
∴，
又∵f（1）=1，
∴a+b+c=1，
∴c=0．
∴f（x）=﹣2x2+3x
分析：由f（x）为二次函数和f（x+1）﹣f（x）=1﹣4x来进行求解．
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