1.5 三角函数的应用 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
1.5 三角函数的应用
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示一些生活中与直角三角形相关的图片，如楼梯、斜坡、电线杆的拉线等，并提出问题：在这些生活场景中，我们常常需要知道一些角度或长度的信息，比如楼梯的倾斜程度、斜坡的坡度等，那么如何通过已有的边长信息来获取这些角度信息，或者通过角度来计算边长呢？
引导学生思考，引发学生对直角三角形边角关系的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的课题 —— 直角三角形的边角关系。
（二）讲授新课（25 分钟）
锐角三角函数的定义
构建直角三角形模型：在黑板上画出一个 Rt，其中∠C = 90° 。
引入正弦函数：设∠A 为锐角，引导学生观察∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比值，定义 sin= \(\frac{BC}{AB}\)，即∠A 的正弦等于∠A 的对边与斜边的比。通过改变∠A 的大小，让学生观察这个比值的变化情况，强调对于一个确定的锐角∠A，其正弦值是固定的。
同理，讲解余弦函数和正切函数的定义：co = \(\frac{AC}{AB}\)，∠A 的余弦等于∠A 的邻边与斜边的比；ta = \(\frac{BC}{AC}\)，∠A 的正切等于∠A 的对边与邻边的比。
给出多个不同的直角三角形，让学生分别同锐角的正弦、余弦和正切值，加深对定义的理解。
特殊锐角的三角函数值
30° 角的三角函数值：构建一个含 30° 角的直角三角形，设 30° 角所对的直角边为 a，根据直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边为 2a，再利用勾股定理求出另一条直角边为\(\sqrt{3}a\) 。然后分别计算 sin30° = \(\frac{a}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)，cos30° = \(\frac{\sqrt{3}a}{2a}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，tan30° = \(\frac{a}{\sqrt{3}a}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 。
45° 角的三角函数值：构建一个等腰直角三角形，设直角边为 b，则斜边为\(\sqrt{2}b\) 。计算 sin45° = \(\frac{b}{\sqrt{2}b}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，cos45° = \(\frac{b}{\sqrt{2}b}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，tan45° = \(\frac{b}{b}\) = 1 。
60° 角的三角函数值：利用含 30° 角的直角三角形，因为 60° 角与 30° 角互为余角，根据三角函数的诱导公式或直接计算，可得 sin60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，cos60° = \(\frac{1}{2}\)，tan60° = \(\sqrt{3}\) 。
制作特殊锐角三角函数值表格，让学生观察表格，总结规律，帮助记忆。
三角函数的应用
举例说明如何运用三角函数解决实际问题，如测量建筑物的高度。已知在离建筑物底部一定距离的地方，测量出观测点到建筑物顶部的仰角以及观测点到建筑物底部的距离，构建直角三角形，选择合适的三角函数（如正切函数）来计算建筑物的高度。
讲解解题的一般步骤：首先根据题意画出直角三角形，明确已知条件和所求问题；然后分析在直角三角形中已知哪些边或角，选择恰当的三角函数关系；最后进行计算求解，并检验答案的合理性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：在 Rt中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，求 sin的值。
分析：根据正弦、余弦和正切函数的定义，先求出 AC 的长度（利用勾股定理 AC = \(\sqrt{AB^{2} - BC^{2}}\) = \(\sqrt{25 - 9}\) = 4），再代入公式计算。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
解直角三角形的应用
知1－讲
1
1. 常见的特殊角
(1)方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的角，一般以“北偏…”“南偏…”的形式出现；
(2)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可简记为“上仰下俯”.
(3)坡角是坡面与水平面的夹角，坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大.
知1－练
例 1
为了维护海洋权益，我国加大了在某海域的巡逻力度.一天，两艘海警船刚好在某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域. 如图1-5-1，AB=60(+ )海里，在B处测得C 在北偏东45°的方向上，在A处测得C在
北偏西30°的方向上，在海岸线AB上
有一灯塔D，测得AD=120(－)海里.
(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC的长(结果保留根号).
知1－练
解：如图1-5-1，过点C作CE⊥AB于点E，可得
∠ACE=30°，∠BCE=45°.设AE=x海里，
则在Rt△ACE中，AC=2x海里，
CE=x海里，在Rt△BCE中，BE=CE=x海里，BC=
x海里. ∵ AB=AE+BE，∴ x+x=60(+ )，
解得x=60，∴ AC=120海里，BC=120海里.
(2)已知在灯塔D周围100 海里范围内有暗礁群，在A处的海警船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
知1－练
知1－练
解：如图1-5-1，过点D作DF⊥AC于 点F，由题可知
∠DAF=60°.
在Rt△AFD中，DF=AD·sin 60°= AD，
∴ DF= ×120(－)=60(3–)≈106.8(海里)，
∵ 106.8>100，∴途中无触礁的危险.
知1－练
如图1-5-2，在数学活动课中，小敏为了
测量校园内旗杆CD的高度，先在教学
楼的底端A处，观测到旗杆顶端C的仰
角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上
的B 处，观测到旗杆底端D的俯角是
30°，已知AB为4 m.
例 2
解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.
知1－练
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD的长(结果保留根号)；
解：∵在教学楼B处观测旗杆底端D的俯角是30°，
∴∠ADB=30°.
在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠ADB=30°，
AB=4 m，∴ AD = = = 4(m).
即教学楼与旗杆的水平距离AD的长是4m.
知1－练
(2)求旗杆CD的高度.
解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=60°，
AD=4 m，
∴ CD=AD·tan 60°=4× =12(m).
即旗杆CD的高度是12 m.
知1－练
2-1. [中考·宿迁] 如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20 m，
求信号塔的高度.
(计算结果保留根号)
知1－练
知1－练
知1－练
例 3
如图1-5-3，李明在大楼30 m 高(即PH=30 m)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°. 已知该山坡的坡
度i为1∶，点P，H，B，C，A
在同一个平面内，点H，B，C在
同一条直线上，且PH⊥HC.
解题秘方：将分散的条件集中到△ABP中求解.
知1－练
(1)山坡坡角的度数等于______；
(2)求A，B两点间的距离. (结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.732)
30°
解：由题意，得∠PBH=60°，∠APB=60°－15°=45°.
∵∠ABC=30°，∴∠ABP=90°，
∴∠BAP=45°= ∠APB，∴ PB=AB.
知1－练
在Rt△PHB中，
PB = = = =20 (m).
∴ AB=PB=20≈ 34.6 m.
即A，B两点间的距离约为34.6 m.
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D
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A
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3. [教材P21习题T2]如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B的仰角为60°，C的仰角为45°，点P到建筑物的距离PD＝20 m，则BC＝__________m.
4. [教材P19做一做]某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地. 如图所示，BC∥AD，斜坡AB＝40m，坡角∠BAD＝60°，为防止夏季因暴雨引发山体滑坡，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC前进到E处，则BE至
少是__________m(结果保留根号).
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5. 如图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图. 已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4 dm，OB＝12 dm，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为________dm.(结果用含根号的式子表示)
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6. [2024泸州]如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，
这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.
已知A，C相距30 n mile.求C，D间的
距离(计算过程中的数据不取近似值).
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三角函数的应用
解直角三
角形的应
用类型
仰角和俯角问题
方向角问题
坡角和坡度问题
一般步骤
一般应用问题
谢谢观看！