2024—2025赣榆高级中学经济开发区校区第一次学情监测
数学试题
（本卷满分150分 考试时间120分钟）
一、单选题
1．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，则与同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
3．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
D．的最大值为3
10．已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，且，则
B．若，则的面积与的面积之比为
C．若，则动点的轨迹经过的外心
D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为
11．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．在上的投影向量为
B．
C．的最大值为2
D．若在线段上（含端点），且，则的取值范围为
三、填空题
12．若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
13． ．
14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
16．已知函数的最大值为3．
(1)若的定义域为，求的单调递增区间；
(2)若，，求的值．
17．已知，与的夹角为，为外接圆上一点，与线段交于点．
(1)若，求；
(2)设.
（ⅰ）试用的函数表示；
（ⅱ）求的取值范围．
18．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求AD的长．
19．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．
(1)当时，求四边形的面积；
(2)求灯柱的高（用表示）；
(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．数学参考答案（3.22)
1．B
2．C
3．C
4．D
5．B
6．D
7．B
8．A
9．ACD
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14．
15．(1)
(2）
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
∴，
∵，则，∴，又，∴；
（2）在中，由正弦定理，
∴，
∴
，
又为锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
故周长的取值范围为
16．(1)单调递增区间为和
(2)
【详解】（1）将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令．得；
令，得，
所以的单调递增区间为和．
（2）由（1）知．
由，得，
所以．又因为．所以，
所以．
所以，
，
所以
.
17．(1)1；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【详解】（1）依题意，，，
，
，
因此
.
（2）（ⅰ）由（1）得，，则，
连接，当与不重合时，为直角三角形，则，
则，当与重合时，上式也成立，
所以.
（ii）四边形为圆内接四边形，则，，
因此的夹角为，当与都不重合时，在中，由正弦定理得：
，则，当与之一重合时，上式成立，于是，
，
由，得，则，
所以.
18．(1)
(2)
【详解】（1）在中由余弦定理，
即，所以，
再由余弦定理，
即，解得.
（2）在中由正弦定理可得，
所以，
在中正弦定理可得，所以，
而，故，故，
故，
又，显然为锐角，
所以，，即，，
则
，
在中由正弦定理，
则．
19．(1)
(2)
(3)，最小值为
【详解】（1）当时，，
所以，
又
所以是等边三角形，所以，
所以在中，，即，
所以；
（2），，，
在中，由正弦定理得，
所以
所以
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，所以；
（3）在中，由正弦定理得，
所以，
所以
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
故关于的函数表达式为，最小值为.
