3.1 圆 课件（共31张PPT）
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文档简介
(共31张PPT)
3.1 圆
第三章 圆
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示生活中各种含有圆的图片，如车轮、摩天轮、圆形建筑等，引导学生观察并思考圆在生活中的广泛应用。
提问：“大家知道为什么车轮要做成圆形，而不是方形或其他形状呢？” 引发学生的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的主题 —— 圆。
（二）讲授新课（30 分钟）
圆的定义及相关概念
动手操作：让学生用圆规在纸上画一个圆，引导学生观察画圆的过程，总结圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。以点 O 为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆 O”。
介绍圆的其他相关概念，如直径、弦、弧（优弧、劣弧、半圆）等，并通过图形让学生直观理解。
垂径定理
探究活动：将一个圆形纸片沿着任意一条直径对折，观察折痕两侧的部分能否完全重合。引导学生发现圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
进一步探究：在圆上任意画一条弦 AB，作直径 CD 垂直于 AB，垂足为 E。测量 AE、BE、弧 AC、弧 BC、弧 AD、弧 BD 的长度，你能发现什么规律？
猜想结论：垂径定理 —— 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
证明定理：引导学生结合图形，利用等腰三角形三线合一的性质进行证明。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆心角、弧、弦之间的关系定理
展示圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
探究活动：在同圆或等圆中，分别画出相等的圆心角∠AOB 和∠COD，观察它们所对的弧 AB 与弧 CD、弦 AB 与弦 CD 之间的关系。
猜想结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
证明定理：通过旋转、叠合等方法进行证明。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
圆周角定理及其推论
展示圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
探究活动：在圆中画出一个圆周角∠ACB 和它所对的弧 AB，再画出圆心角∠AOB，测量∠ACB 和∠AOB 的度数，你能发现它们之间的关系吗？改变圆周角的位置，重复上述操作，你有什么发现？
猜想结论：圆周角定理 —— 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
证明定理：分三种情况进行证明（圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部）。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆
1. 圆的定义
(1)描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.
(2)集合观点定义：圆可以看成是所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1. 确定一个圆需要“两个要素”，一是圆心，圆心定其位置；二是半径，半径定其大小.
2. 圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”.
3. “圆上的点”指圆周上的点.
知1－讲
感悟新知
2. 圆的表示法 以点O 为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”.
3. 圆的特性 (1)同圆的半径相等.
(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上.
感悟新知
知1－练
下列说法中, 错误的有( )
(1)经过点P 的圆有无数个；
(2)以点P 为圆心的圆有无数个；
(3)半径为3 cm 且经过点P 的圆有无数个；
(4)以点P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例 1
感悟新知
知1－练
1-1. 下列条件中，能确定唯一一个圆的是( )
A. 以点O 为圆心
B. 以2 cm 长为半径
C. 以点O 为圆心，5 cm长为半径
D. 半径为2 cm 且经过点A
C
感悟新知
知1－练
1-2. 到点O 的距离等于8 cm 的点的集合是以点________为圆心，以________ cm长为半径的圆.
O
8
感悟新知
知1－练
如图3-1-1，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，那么点E，F，G，H 是否在同一个圆上？请说明理由.
例 2
解题秘方：只需说明E，F，G，H 四点到点O 的距离相等即可.
感悟新知
知1－练
解：点E，F，G，H 在同一个圆上，理由如下：
如图3-1-1，连接OE，OF，OG，OH.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=DA，
AC ⊥ BD.
感悟新知
知1－练
又∵ E 为AB 边的中点，∴ OE=AB.
同理可得，OF=BC，OG=CD，OH=DA.
∴ OE=OF=OG=OH.
∴点E，F，G，H 在以点O 为圆心，OE 为半径的圆上.
知识点
圆的有关概念
知2－讲
感悟新知
2
定义 注意
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦
直径 经过圆心的弦叫做直径
知2－讲
感悟新知
弧、半圆、劣弧、优弧、 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；(3)小于半圆的弧叫做劣弧；(4)大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧
续表
知2－讲
感悟新知
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等
前提
续表
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2. 弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.
3. 弦与弧的关系：
(1)弦和弧都有无数条.
(2)每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条.
感悟新知
知2－练
下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等
的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. 正确的有 ____________.
①③⑤
例 3
知2－练
感悟新知
3-1. 如图，在⊙ O 中，点A，O，D 在一条直线上， 点B，O，C 在一条直线上，那么图中有________条弦.
3
知识点
点和圆的位置关系
知3－讲
感悟新知
3
点和圆的位置关系
设⊙ O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有：
点和圆的位置关系 特点 等级关系
点在圆外 点到圆心的距离大于半径
点在圆上 点到圆心的距离等于半径
点在圆内 点到圆心的距离小于半径
知3－讲
感悟新知
特别提醒
符号“ ”读作“等价于”，它表示符号“ ”左右两端互为因果关系.
感悟新知
知3－练
如图3-1-2，已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD=3 cm，在直线l 上有P，Q，R 三点，且有PD=4 cm，QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？
例 4
解题秘方：比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况.
知3－练
感悟新知
解：如图3-1-2，连接OR，OP，OQ.
∵ PD=4 cm，OD=3 cm，且OD ⊥ l，
∴ OP=5 cm=r. ∴点P 在⊙ O 上.
∵ QD=5 cm，∴ OQ= cm>5 cm，∴点Q 在⊙ O 外.
∵ RD=3 cm，∴ OR=3 cm<5 cm. ∴点R 在⊙ O 内.
知3－练
感悟新知
4-1. 在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是 ________.
6返回
1. 有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆. 其中正确的说法有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
返回
D
返回
3. 如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，四边形DEOF，四边形HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列选项正确的是( )
A. a＞b＞c
B. a＝b＝c
C. c＞a＞b
D. b＞c＞a
B
返回
4. 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A. 当a＜5时，点B在⊙A内
B. 当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C. 当a＜1时，点B在⊙A外
D. 当a＞5时，点B在⊙A外
A
返回
5. [教材P66随堂练习T2]如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为________. (填C，D，E，F中的一个字母)
F
返回
6. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，并判断A，B两点和⊙C的位置关系.
【解】如图．∵∠C＝90°，AC＝4，
AB＝5，∴BC＝3.
∵AC＝4＞r，∴点A在⊙C外．
∵BC＝r，∴点B在⊙C上．
返回
7. 在平面直角坐标系中，已知⊙O的圆心与原点重合，半径为5，则下列各点中，不在圆上的点是( )
A. (4，3) B. (1，－4)
C. (－3，4) D. (－5，0)
B
课堂小结
圆
圆
弦、弧、等圆、等弧
两要素
位置
大小
圆心
半径
相关概念
点与圆的位置关系
点在圆上、圆内、圆外
谢谢观看！
3.1 圆
第三章 圆
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示生活中各种含有圆的图片，如车轮、摩天轮、圆形建筑等，引导学生观察并思考圆在生活中的广泛应用。
提问：“大家知道为什么车轮要做成圆形，而不是方形或其他形状呢？” 引发学生的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的主题 —— 圆。
（二）讲授新课（30 分钟）
圆的定义及相关概念
动手操作：让学生用圆规在纸上画一个圆，引导学生观察画圆的过程，总结圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。以点 O 为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆 O”。
介绍圆的其他相关概念，如直径、弦、弧（优弧、劣弧、半圆）等，并通过图形让学生直观理解。
垂径定理
探究活动：将一个圆形纸片沿着任意一条直径对折，观察折痕两侧的部分能否完全重合。引导学生发现圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
进一步探究：在圆上任意画一条弦 AB，作直径 CD 垂直于 AB，垂足为 E。测量 AE、BE、弧 AC、弧 BC、弧 AD、弧 BD 的长度，你能发现什么规律？
猜想结论：垂径定理 —— 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
证明定理：引导学生结合图形，利用等腰三角形三线合一的性质进行证明。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆心角、弧、弦之间的关系定理
展示圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
探究活动：在同圆或等圆中，分别画出相等的圆心角∠AOB 和∠COD，观察它们所对的弧 AB 与弧 CD、弦 AB 与弦 CD 之间的关系。
猜想结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
证明定理：通过旋转、叠合等方法进行证明。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
圆周角定理及其推论
展示圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
探究活动：在圆中画出一个圆周角∠ACB 和它所对的弧 AB，再画出圆心角∠AOB，测量∠ACB 和∠AOB 的度数，你能发现它们之间的关系吗？改变圆周角的位置，重复上述操作，你有什么发现？
猜想结论：圆周角定理 —— 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
证明定理：分三种情况进行证明（圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部）。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆
1. 圆的定义
(1)描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.
(2)集合观点定义：圆可以看成是所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1. 确定一个圆需要“两个要素”，一是圆心，圆心定其位置；二是半径，半径定其大小.
2. 圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”.
3. “圆上的点”指圆周上的点.
知1－讲
感悟新知
2. 圆的表示法 以点O 为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”.
3. 圆的特性 (1)同圆的半径相等.
(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上.
感悟新知
知1－练
下列说法中, 错误的有( )
(1)经过点P 的圆有无数个；
(2)以点P 为圆心的圆有无数个；
(3)半径为3 cm 且经过点P 的圆有无数个；
(4)以点P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例 1
感悟新知
知1－练
1-1. 下列条件中，能确定唯一一个圆的是( )
A. 以点O 为圆心
B. 以2 cm 长为半径
C. 以点O 为圆心，5 cm长为半径
D. 半径为2 cm 且经过点A
C
感悟新知
知1－练
1-2. 到点O 的距离等于8 cm 的点的集合是以点________为圆心，以________ cm长为半径的圆.
O
8
感悟新知
知1－练
如图3-1-1，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，那么点E，F，G，H 是否在同一个圆上？请说明理由.
例 2
解题秘方：只需说明E，F，G，H 四点到点O 的距离相等即可.
感悟新知
知1－练
解：点E，F，G，H 在同一个圆上，理由如下：
如图3-1-1，连接OE，OF，OG，OH.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=DA，
AC ⊥ BD.
感悟新知
知1－练
又∵ E 为AB 边的中点，∴ OE=AB.
同理可得，OF=BC，OG=CD，OH=DA.
∴ OE=OF=OG=OH.
∴点E，F，G，H 在以点O 为圆心，OE 为半径的圆上.
知识点
圆的有关概念
知2－讲
感悟新知
2
定义 注意
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦
直径 经过圆心的弦叫做直径
知2－讲
感悟新知
弧、半圆、劣弧、优弧、 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；(3)小于半圆的弧叫做劣弧；(4)大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧
续表
知2－讲
感悟新知
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等
前提
续表
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2. 弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.
3. 弦与弧的关系：
(1)弦和弧都有无数条.
(2)每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条.
感悟新知
知2－练
下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等
的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. 正确的有 ____________.
①③⑤
例 3
知2－练
感悟新知
3-1. 如图，在⊙ O 中，点A，O，D 在一条直线上， 点B，O，C 在一条直线上，那么图中有________条弦.
3
知识点
点和圆的位置关系
知3－讲
感悟新知
3
点和圆的位置关系
设⊙ O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有：
点和圆的位置关系 特点 等级关系
点在圆外 点到圆心的距离大于半径
点在圆上 点到圆心的距离等于半径
点在圆内 点到圆心的距离小于半径
知3－讲
感悟新知
特别提醒
符号“ ”读作“等价于”，它表示符号“ ”左右两端互为因果关系.
感悟新知
知3－练
如图3-1-2，已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD=3 cm，在直线l 上有P，Q，R 三点，且有PD=4 cm，QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？
例 4
解题秘方：比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况.
知3－练
感悟新知
解：如图3-1-2，连接OR，OP，OQ.
∵ PD=4 cm，OD=3 cm，且OD ⊥ l，
∴ OP=5 cm=r. ∴点P 在⊙ O 上.
∵ QD=5 cm，∴ OQ= cm>5 cm，∴点Q 在⊙ O 外.
∵ RD=3 cm，∴ OR=3 cm<5 cm. ∴点R 在⊙ O 内.
知3－练
感悟新知
4-1. 在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是 ________.
6
1. 有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆. 其中正确的说法有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
返回
D
返回
3. 如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，四边形DEOF，四边形HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列选项正确的是( )
A. a＞b＞c
B. a＝b＝c
C. c＞a＞b
D. b＞c＞a
B
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4. 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A. 当a＜5时，点B在⊙A内
B. 当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C. 当a＜1时，点B在⊙A外
D. 当a＞5时，点B在⊙A外
A
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5. [教材P66随堂练习T2]如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为________. (填C，D，E，F中的一个字母)
F
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6. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，并判断A，B两点和⊙C的位置关系.
【解】如图．∵∠C＝90°，AC＝4，
AB＝5，∴BC＝3.
∵AC＝4＞r，∴点A在⊙C外．
∵BC＝r，∴点B在⊙C上．
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7. 在平面直角坐标系中，已知⊙O的圆心与原点重合，半径为5，则下列各点中，不在圆上的点是( )
A. (4，3) B. (1，－4)
C. (－3，4) D. (－5，0)
B
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圆
圆
弦、弧、等圆、等弧
两要素
位置
大小
圆心
半径
相关概念
点与圆的位置关系
点在圆上、圆内、圆外
谢谢观看！