人教新课标A版必修1数学1.3.2奇偶性同步检测

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1.3.2奇偶性同步检测
1、设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（　　）
A、﹣3 B、﹣1
C、1 D、3
答案：A
解析：解答：因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（0）=20+2×0+b=0，
解得b=﹣1，
所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，
又因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，
故选A
分析：首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值．
2. 设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（　　）
A、0.5 B、﹣0.5
C、1.5 D、﹣1.5
答案：B
解析：解答：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），
∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．
故选B
分析：题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．
3. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（3）的x的取值范围是（　　）
A、（﹣1，2） B、[﹣1，2）
C、 D、
答案：A
解析：解答：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）
∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（|3|）
又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加
得|2x﹣1|＜3解得﹣1＜x＜2．
故选A
分析：根据f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|），从而将f（2x﹣1）＜f（3）转化成f（|2x﹣1|）＜f（|3|），然后根据函数的单调性建立关系式，解之即可．
4. 、若函数y=（x+1）（x﹣a）为偶函数，则a=（　　）
A、﹣2 B、﹣1
C、1 D、2
答案：C
解析：解答：f（1）=2（1﹣a），f（﹣1）=0
∵f（x）是偶函数
∴2（1﹣a）=0，∴a=1，
故选C
分析：本小题主要考查函数的奇偶性的定义：f（x）的定义域为I， x∈I都有，f（﹣x）=f（x）．根据定义列出方程，即可求解．
5.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞） 上单调递减的函数是（　　）
A、y=x﹣2 B、y=x﹣1
C、y=x2 D、
答案：A
解析：解答：函数y=x﹣2，既是偶函数，在区间（0，+∞） 上单调递减，故A正确；
函数y=x﹣1，是奇函数，在区间（0，+∞） 上单调递减，故B错误；
函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞） 上单调递增，故C错误；
函数，是奇函数，在区间（0，+∞） 上单调递增，故D错误；
故选A
分析：根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．
6. 函数f （x ）=的奇偶性及单调性的情况是（　　）
A、增函数、偶函数 B、减函数、奇函数
C、增函数、非奇非偶函数 D、减函数、非奇非偶函数
答案：C
解析：解答：由题可知：则可得函数定义域为：﹣1≤x＜1，所以为非奇非偶函数．
令g（x）==﹣=﹣（1+），
由此判断g（x）在﹣1≤x＜1上单调递增，从而知f（x）在﹣1≤x＜1上也单调递增．
故选C
分析：首先看函数定义域是否关于原点对称，然后利用奇偶性定义判断即可．
7. 关于函数f（x）=ln（x2+ax﹣a+1），有以下四个结论
（1）当a=0时，f（x）的值域为[0，+∞）；
（2）f（x）不可能是增函数；
（3）f（x）不可能是奇函数；
（4）存在a，使得f（x）的图象是轴对称的．其中正确的个数是（　　）
A、1 B、2
C、3 D、4
答案：D
解析：解答：（1）当a=0时，f（x）=ln（x2+1），x2+1∈[1，+∞），所以f（x）的值域为[0，+∞），故（1）正确；
（2）由于内函数t=x2+ax﹣a+1有两个单调区间，故f（x）也一定有两个单调区间，一个单调增区间，一个单调减区间，故（2）正确；
（3）a=0时，函数f（x）=ln（x2+ax﹣a+1）是偶函数，当a≠0时函数f（x）=ln（x2+ax﹣a+1）是非奇非偶函数，故（3）正确；
（4）由于内函数t=x2+ax﹣a+1的图象是轴对称的，故f（x）的图象是轴对称的，故（4）正确
故选D
分析：由二次函数的图象与性质及对数函数的图象和性质，求出当a=0时，f（x）的值域，可判断（1）的真假；由复合函数的单调性及二次函数及对数函数的单调性，可判断（2）的真假；根据函数奇偶性的定义可判断（3）的真假；根据二次函数的对称性，可以判断（4）的真假，进而得到答案．
8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调递增，若，△ABC的内角满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是（　　）
A、（，） B、（，π）
C、（0，）∪（，π） D、（，）∪（，π）
答案：D
解析：解答：f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，
又∵函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递增，，
故函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调递增，，
若f（cosA）＜0，
则﹣＜cosA＜0，或0＜cosA＜
则＜A＜，或＜A＜π
故选D
分析：由已知中f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调递增，若，我们易得到函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调递增，，由，△ABC的内角满足f（cosA）＜0，可以构造三角方程，进而求出A的取值范围．
9. 奇函数f（x）在区间[a，b]上是减函数且有最小值m，那么f（x）在[﹣b，﹣a]上是（　　）
A、减函数且有最大值﹣m B、减函数且有最小值﹣m
C、增函数且有最大值﹣m D、增函数且有最小值﹣m
答案：A
解析：解答：：由于奇函数f（x）在区间[a，b]上是减函数且有最小值m，奇函数的图象关于原点对称，
则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上是减函数，且最大值为﹣m，
故选A
分析：根据奇函数的图象关于原点对称，由题意可得f（x）在区间[﹣b，﹣a]上单调性不变，且有最大值为﹣m，从而得到正确的选项．
10.若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有（　　）
A、f（2）＜f（3）＜g（0） B、g（0）＜f（3）＜f（2）
C、f（2）＜g（0）＜f（3） D、g（0）＜f（2）＜f（3）
答案：D
解析：解答：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e﹣x，
又∵f（x）﹣g（x）=ex
∴解得：，，
故f（x）单调递增，又f（0）=0，g（0）=﹣1，有g（0）＜f（2）＜f（3）
故选D
分析：因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）．用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，又由f（x）﹣g（x）=ex联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案．
11. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（　　）
①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值
A、①② B、①③
C、②④ D、②③
答案：B
解析：解答：由已知可得：
f（﹣x）=﹣f（x） …（1）
f（﹣x﹣）=﹣f（x+）…（2）
f（﹣x+）=f（x+）…（3）
由（3）知 函数f（x）有对称轴x=
由（2）（3）得 f（﹣x﹣）=﹣f（﹣x+）；
令z=﹣x+则﹣x﹣=z﹣π，
∴f（z﹣π）=﹣f（z），
故有f（z﹣π﹣π）=﹣f（z﹣π），
两者联立得 f（z﹣2π）=f（z），
可见函数f（x）是周期函数，且周期为2π；
由（1）知：f（﹣z）=﹣f（z），代入上式得：f（z﹣2π）=﹣f（﹣z）；
由此式可知：函数f（x）有对称中心（﹣π，0）
由上证知①③是正确的命题．
故应选B
分析：本题函数的性质，先对已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确．
12.将奇函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移2个单位，所得的图象为C，又设图象C'与C关于原点对称，则C'对应的函数为（　　）
A、y=﹣f（x﹣2） B、y=f（x﹣2）
C、y=﹣f（x+2） D、y=f（x+2）
答案：D
解析：解答：将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C，则C对应的解析式为y=f（x﹣2），
又因为图象C'与C关于原点对称，
所以C'对应的解析式为y=﹣f（﹣x﹣2），
因为函数f（x）是奇函数，
所以y=﹣f（﹣x﹣2）=f（x+2）．
故选D
分析：根据平移变换得到C对应的解析式为y=f（x﹣2），又根据图象C'与C关于原点对称，得到C'对应的解析式为y=﹣f（﹣x﹣2），再根据函数f（x）的奇偶性得到答案．
13.已知函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（1，3）内有极小值，则函数g（x）=在区间（1，+∝）上一定（　　）
A、有最小值 B、有最大值
C、是减函数 D、是增函数
答案：A
解析：解答：∵函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（1，3）内有极小值，
∴f′（x）=2x﹣2a=0在（1，3）有解
∴1＜a＜3．g（x）=﹣2a在区间（0，）内单调递减，在区间（）内单调递增．
∵＞1，
∴函数g（x）在区间（1，+∝）上一定有最小值．
故选A
分析：根据函数在区间（1，3）内有极小值先确定a的取值范围，再化简函数g（x）由基本不等式可得答案．
14.已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，则f（1）的值（　　）
A、恒为正数 B、恒为负数
C、恒为0 D、可正可负
答案：A
解析：解答：∵函数f（x）是R上的奇函数
∴f（0）=0，
又∵f（x）在R上递增，
∴f（1）＞f（0）=0，
故选A
分析：根据奇函数的定义，我们易求了f（0）的值，然后根据函数f（x）是R上的单调增函数，我们即可判断出f（1）的值的符号．
15.已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，则a=f（2010），b=f（），c=﹣f（）的大小关系是（　　）
A、b＜c＜a B、c＜b＜a
C、a＜c＜b D、a＜b＜c
答案：A
解析：解答：∵y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，
∴4为函数的一个周期，
又∵对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，
∴a=f（2010）=f（2）=﹣f（0）
b=f（）=﹣f（），
c=﹣f（）
∵0＜＜＜1
∴f（）＞f（）＞f（0）
∴b＜c＜a
故选A
分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出=f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．
16. 奇函数f（x）在[3，7]上是增函数，在[3，6]上的最大值是8，最小值是﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）等于　 　．
答案：-15
解析：解答：由题f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为1，得f（3）=1，f（6）=8，
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣3）+2f（﹣6）=﹣f（3）﹣2f（6）=1﹣2×8=﹣15．
故答案为：﹣15．
分析：先利用条件找到f（3）=1，f（6）=8，再利用f（x）是奇函数求出f（﹣3），f（﹣6）代入即可．
17. 若函数f（x）=（m﹣1）x2+mx+3 （x∈R）是偶函数，则f（x）的单调减区间是　 　．
答案： [0，+∞）
解析：解答：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（m﹣1）x2﹣mx+3=（m﹣1）x2+mx+3对于x取何值都成立，
∴m=0．
这时f（x）=﹣x2+3，
∴单调减区间为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）
分析：由题意函数f（x）=（m﹣1）x2+mx+3 （x∈R）是偶函数，所以对于定义域内的所有的x都有f（﹣x）=f（x）成立，利用此解出m，进而求解出具体函数的单调区间．
18. 设函数f（x）的定义域，值域分别为A，B，且A∩B是单元集，下列命题中：
①若A∩B={a}，则f（a）=a；
②若B不是单元集，则满足f[f（x）]=f（x）的x值可能不存在；
③若f（x）具有奇偶性，则f（x）可能为偶函数；
④若f（x）不是常数函数，则f（x）不可能为周期函数．
正确命题的序号为　 　．
答案：②③
解析：解答：通过 对概念的理解，可以如下判断这四个命题的真假．
①a∈A，即f（a）有定义；a∈B，即存在b∈A使得f（b）=a．这里并不要求f（a）=a；
比如，A={0，1}，f（x）=x+1；①不对；
②构造一个一一对应的函数如：f（x）=x+1，A={0，1}，B={1，2}，
要f（f（x））有意义，只有x=0，f（f（0））=f（1）=2≠f（0）；因此②成立
③说可能存在，具体找到一个就行，常数函数f（x）=1．③也成立
④要求A∩B是单元集，周期函数的定义域是无界的，但不一定要连续，构造一个周期函数去否定④，
如A=Z，若x是偶数，则，f（x）=0，若x为奇数，则f（x）=，f（x）是周期为2的周期函数，B={0，}，A∩B={0}；
故答案为②③．
分析：用构造具体函数的方法来验证每一个命题的真伪，对构造的函数的要求是其能满足命题中的条件，然后以之来判断命题成立与否．
19. 如果是奇函数，则f（x）=　 　．
答案：2x+3
解析：解答：设x＜0，则﹣x＞0，∵，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣3，
∵函数y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x+3．
故答案为：2x+3．
分析：根据函数的解析式，设x＜0则﹣x＞0，代入解析式，再由奇函数的关系f（x）=﹣f（﹣x）求出f（x）．
20.已知f（x）是定义域在R上的函数，且有下列三个性质：
①函数图象的对称轴是x=1；
②在（﹣∞，0）上是减函数；
③有最小值是﹣3；
请写出上述三个条件都满足的一个函数　 　．
答案：y=（x﹣1）2﹣3
解析：解答：根据题目的条件可知二次函数满足三个性质
∵在（﹣∞，0）上是减函数
∴二次函数的图象开口向上
又对称轴为x=1
故设二次函数的解析式为y=（x﹣1）2+m
又∵有最小值是﹣3
∴m=﹣3，故答案为y=（x﹣1）2﹣3
分析：根据f（x）的三个性质可设该函数为二次函数，利用待定系数法根据满足题目条件求出一个函数即可．
21.若f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）+g（x）=2x，求f（x）和g（x）的解析式．
答案： ∵f（x）为定义在R上的偶函数
∴f（﹣x）=f（x）
又∵g（x）为定义在R上的奇函数
g（﹣x）=﹣g（x）
由f（x）+g（x）=2x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x，
∴g（x）=（2x﹣2﹣x）
f（x）=（2x+2﹣x）．
解析：解答：∵f（x）为定义在R上的偶函数
∴f（﹣x）=f（x）
又∵g（x）为定义在R上的奇函数
g（﹣x）=﹣g（x）
由f（x）+g（x）=2x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x，
∴g（x）=（2x﹣2﹣x）
f（x）=（2x+2﹣x）．
分析：根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．
22.已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
（1）求函数g（x）的定义域；
答案：∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
∴，∴＜x＜，函数g（x）的定义域（，）．
（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集
答案：∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），∴，
∴＜x＜2，
不等式g（x）≤0的解集是 （，2）．
解析：解答：（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
∴，∴＜x＜，函数g（x）的定义域（，）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），∴，
∴＜x＜2，
不等式g（x）≤0的解集是 （，2）．
分析：（1）由题意知，，解此不等式组得出函数g（x）的定义域．
（2）等式g（x）≤0，即 f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），有，解此不等式组，可得结果．
23.已知定义在R上的函数f（x）=x2|x﹣a|（a∈R）．21世纪教育网版权所有
（1）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；
答案： a=0时，f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）当a≠0时，是否存在一点M（t，0），使f（x）的图象关于点M对称，并说明理由．
答案：不存在．
假设存在一点M0（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，
则对x∈R应恒有f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）．
当t0=a时，取x=a，
则f（2a）=﹣f（0）=0，∴4a2|a|=0，∴a=0这与a≠0矛盾．当t0≠a时，
取x=a﹣t0，
则f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0．∴（2t0﹣a）2|2t0﹣2a|=0，∵2t0﹣2a≠0，∴．而时，取x=0，
则即．∴这也与已知矛盾．
综上，不存在这样的点M．
解析：解答：（1）a=0时，f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）不存在．
假设存在一点M0（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，
则对x∈R应恒有f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）．
当t0=a时，取x=a，
则f（2a）=﹣f（0）=0，∴4a2|a|=0，∴a=0这与a≠0矛盾．当t0≠a时，
取x=a﹣t0，
则f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0．∴（2t0﹣a）2|2t0﹣2a|=0，∵2t0﹣2a≠0，∴．而时，取x=0，
则即．∴这也与已知矛盾．
综上，不存在这样的点M．
分析：（1）根据f（x）=x2|x﹣a|（a∈R），可对a分类讨论，根据函数奇偶性的定义即可判断；
（2）可假设存在一点M（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，故f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）；
分当t0=a时，取x=a，有f（2a）=﹣f（0）=0，从而可得a=0，导出矛盾；
当t0≠a时，取x=a﹣t0，f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0，可解得，再取x=0，从而可得a=0，导出矛盾；于是可得结论．
24.已知函数f（x）=2x，g（x）=|2x﹣1|+|x+3|，求f（g（x））的单调区间
答案：由已知g（x）=|2x﹣1|+|x+3|=
内层函数的单调增区间是，单调递减区间是
由于外层函数f（x）=2x是增函数，由复合函数的判断规则知
f（g（x））的单调增区间是，单调递减区间是
解析：解答：由已知g（x）=|2x﹣1|+|x+3|=
内层函数的单调增区间是，单调递减区间是
由于外层函数f（x）=2x是增函数，由复合函数的判断规则知
f（g（x））的单调增区间是，单调递减区间是
分析：f（g（x））是一个复合函数，且外层函数是一个增函数，故欲求其单调增区间只需求内层函数的单调区间即可，内层函数是一个绝对值函数，应先将其变成分段函数来研究内层函数的单调性，求出其单调区间．
25. 函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，．
（1）求f（x）的解析式；
答案：∵f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）
设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=
∴
∴
（2）讨论函数f（x）的单调性，并求f（x）的值域．
答案：当x＞0时，，
令f'（x）=0 x=2
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，
x∈（2，+∞）时，f'（0）＞0，f（x）是增函数，
且函数f（x）在此区间上有极小值y极小=f（2）=5
又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称
∴x＜0时，f（x）的增区间为（﹣2，0），减区间为（﹣∞，﹣2）
综上所述，f（x）在区间（﹣∞，﹣2）和（0，2）上是减函数
在区间（﹣2，0）和（2，+∞）上是增函数，值域为f（x）∈[5，+∞）
解析：解答：（1）∵f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）
设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=
∴
∴
（2）当x＞0时，，（
令f'（x）=0 x=2
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，
x∈（2，+∞）时，f'（0）＞0，f（x）是增函数，
且函数f（x）在此区间上有极小值y极小=f（2）=5
又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称
∴x＜0时，f（x）的增区间为（﹣2，0），减区间为（﹣∞，﹣2）
综上所述，f（x）在区间（﹣∞，﹣2）和（0，2）上是减函数
在区间（﹣2，0）和（2，+∞）上是增函数，值域为f（x）∈[5，+∞）
分析：①先由奇偶性寻求f（﹣x）与f（x）的关系，再设x＜0，则﹣x＞0，按照求函数值求解；②用导数判断单调性，确定单调区间求得值域．
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