26.1 二次函数 课件（共23张PPT）
文档属性
| 名称 | 26.1 二次函数 课件（共23张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-30 17:27:23 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
26.1 二次函数
第26章 二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解二次函数的概念和一般形式.
2.能根据实际问题列出二次函数的表达式,建立简单的二次函数的模型.
、教学目标
知识与技能目标
理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）。
能够根据实际问题列出二次函数关系式，并能确定自变量的取值范围。
会用描点法画出二次函数的图象，理解二次函数图象的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
过程与方法目标
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：已知二次函数\(y = -2x^2 + 4x - 1\)，求：
（1）该函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（2）当\(x = -1\)时，函数的值是多少？
分析：（1）直接根据二次函数的一般形式确定各项系数；（2）将\(x = -1\)代入函数表达式计算函数值。
解答：（1）二次项系数为\(-2\)，一次项系数为\(4\)，常数项为\(-1\)。
（2）当\(x = -1\)时，\(y = -2\times(-1)^2 + 4\times(-1) - 1 = -2 - 4 - 1 = -7\)。
例 2：一个小球从地面以\(20m/s\)的初速度竖直向上抛出，小球的高度\(h\)（单位：\(m\)）与运动时间\(t\)（单位：\(s\)）之间的关系为\(h = 20t - 5t^2\)。求小球运动到最高点时所用的时间以及最高点的高度。
分析：将函数\(h = 20t - 5t^2\)化为顶点式，根据顶点式的性质求解。
解答：\(h = -5t^2 + 20t = -5(t^2 - 4t) = -5(t^2 - 4t + 4 - 4) = -5[(t - 2)^2 - 4] = -5(t - 2)^2 + 20\)。
所以当\(t = 2s\)时，小球达到最高点，最高点的高度为\(h = 20m\)。
（四）课堂练习（10 分钟）
下列函数中，哪些是二次函数？
（1）\(y = 3x - 1\)
（2）\(y = 2x^2\)
（3）\(y = \frac{1}{x^2}\)
（4）\(y = (x + 3)^2 - x^2\)
已知二次函数\(y = x^2 - 2x - 3\)，求：
（1）函数图象与\(x\)轴的交点坐标。
（2）当\(y = 0\)时，\(x\)的值是多少？当\(y\gt0\)时，\(x\)的取值范围是什么？当\(y\lt0\)时，\(x\)的取值范围是什么？
用\(60m\)长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积\(S\)（单位：\(m^2\)）与矩形一边长\(x\)（单位：\(m\)）之间的函数关系式是什么？自变量\(x\)的取值范围是什么？这个矩形的最大面积是多少？
（五）课堂小结（5 分钟）
教师提问：同学们，通过本节课的学习，你们都学到了哪些知识？
学生回答：二次函数的概念、表达式、图象性质，如何用二次函数解决实际问题等。
教师总结：本节课我们学习了二次函数的相关知识，二次函数在生活中有广泛的应用。同学们要理解二次函数的概念和性质，掌握用二次函数解决实际问题的方法，注意在解决问题过程中数学模型的建立和运用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业：教材课后习题第 1、2、3 题。
拓展作业：某商场将进价为\(30\)元的台灯以\(40\)元售出，平均每月能售出\(600\)个。调查发现，这种台灯的售价每上涨\(1\)元，其销售量就减少\(10\)个。为了实现平均每月\(10000\)元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
预习作业：预习二次函数与一元二次方程的关系，思考二次函数图象与\(x\)轴交点的横坐标和对应的一元二次方程的根有什么联系。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过生活情境导入，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在知识新授环节，通过逐步引导学生探究二次函数的概念、表达式和图象性质，培养了学生的自主学习能力和逻辑思维能力。在例题讲解和课堂练习环节，学生对二次函数知识的应用能力得到了一定的提高。但在教学过程中，部分学生对于二次函数图象性质的理解和应用还存在困难，需要在今后的教学中加强针对性的辅导和练习，同时进一步引导学生体会数学知识在实际生活中的应用价值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，写出y 关于x 的关系式；
y=6x2
问题2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大
分析：销售利润=（售价-进价）×销售量.
根据题意，求出这个函数关系式.
想一想，为什么要限定0≤x≤2？
想一想
问题1-2中函数关系式有什么共同点
y=6x2
函数都是用自变量的二次整式表示的
知识归纳
1.二次函数的定义：
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.
2.温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
探究一 二次函数的概念
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
方法归纳
探究二 列出二次函数的关系式
问题提出：有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子，设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
问题探究：（1）说说题中的等量关系.
无盖盒子的底面面积=无盖盒子底边边长2
（2）怎么求出无盖盒子底边边长呢？
正方形边长减去两个小正方形的边长.
探究二 列出二次函数的关系式
问题提出：有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子，设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
问题解决：
解：正方形的边长为80÷4=20（cm）
根据题意可得：
y=(20-2x)2=
4x2-8x+400
返回
A
2．下列二次函数中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，－1，0的是( )
A．y＝(x－2)(x＋1)
B．y＝(x－1)2－2x2－1
C．y＝(x＋2)(x－3)＋6
D．y＝(2x－1)2－3(x2－x)
C
返回
返回
C
3．[2024福州期末]某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y(万元)关于x的函数关系式为( )
A．y＝9(1＋x)3
B．y＝9＋9x＋x2
C．y＝9＋9(1＋x)＋9(1＋x)2
D．y＝9(1＋x)2
4. 已知关于x的二次函数y＝(m－3)x2－x＋5，写一个符合条件的m的值：______________.
0(答案不唯一)
返回
5. [教材P4习题T3]已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝3时，y＝0；则b＝________，c＝________.
－2
－1
返回
返回
6．如图，长方体的底面是边长为x的正方形，高为6，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝________，长方体的体积V＝________，
各棱长的和L＝________，在上面的三个函
数中，________是关于x的二次函数．
24x
6x2
8x＋24
V
7．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(m－2)·xm2－2＋x－1.
(1)当m为何值时，x，y之间是二次函数关系？
【解】根据题意，得m－2≠0且m2－2＝2，
所以m＝－2.
即当m＝－2时，x，y之间是二次函数关系．
(2)当m为何值时，x，y之间是一次函数关系？
返回
8．[2024西安月考]下列每组变量之间的关系为二次函数的是( )
A．正方形周长y与边长x的关系
B．菱形面积S一定，两条对角线的长a与b的关系
C．速度v一定时，路程s与时间t的关系
D．等边三角形的面积S与边长x的关系
返回
D
90
返回
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c.(a ≠0，a,b,c是常数）
谢谢观看！
26.1 二次函数
第26章 二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解二次函数的概念和一般形式.
2.能根据实际问题列出二次函数的表达式,建立简单的二次函数的模型.
、教学目标
知识与技能目标
理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）。
能够根据实际问题列出二次函数关系式，并能确定自变量的取值范围。
会用描点法画出二次函数的图象，理解二次函数图象的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
过程与方法目标
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：已知二次函数\(y = -2x^2 + 4x - 1\)，求：
（1）该函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（2）当\(x = -1\)时，函数的值是多少？
分析：（1）直接根据二次函数的一般形式确定各项系数；（2）将\(x = -1\)代入函数表达式计算函数值。
解答：（1）二次项系数为\(-2\)，一次项系数为\(4\)，常数项为\(-1\)。
（2）当\(x = -1\)时，\(y = -2\times(-1)^2 + 4\times(-1) - 1 = -2 - 4 - 1 = -7\)。
例 2：一个小球从地面以\(20m/s\)的初速度竖直向上抛出，小球的高度\(h\)（单位：\(m\)）与运动时间\(t\)（单位：\(s\)）之间的关系为\(h = 20t - 5t^2\)。求小球运动到最高点时所用的时间以及最高点的高度。
分析：将函数\(h = 20t - 5t^2\)化为顶点式，根据顶点式的性质求解。
解答：\(h = -5t^2 + 20t = -5(t^2 - 4t) = -5(t^2 - 4t + 4 - 4) = -5[(t - 2)^2 - 4] = -5(t - 2)^2 + 20\)。
所以当\(t = 2s\)时，小球达到最高点，最高点的高度为\(h = 20m\)。
（四）课堂练习（10 分钟）
下列函数中，哪些是二次函数？
（1）\(y = 3x - 1\)
（2）\(y = 2x^2\)
（3）\(y = \frac{1}{x^2}\)
（4）\(y = (x + 3)^2 - x^2\)
已知二次函数\(y = x^2 - 2x - 3\)，求：
（1）函数图象与\(x\)轴的交点坐标。
（2）当\(y = 0\)时，\(x\)的值是多少？当\(y\gt0\)时，\(x\)的取值范围是什么？当\(y\lt0\)时，\(x\)的取值范围是什么？
用\(60m\)长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积\(S\)（单位：\(m^2\)）与矩形一边长\(x\)（单位：\(m\)）之间的函数关系式是什么？自变量\(x\)的取值范围是什么？这个矩形的最大面积是多少？
（五）课堂小结（5 分钟）
教师提问：同学们，通过本节课的学习，你们都学到了哪些知识？
学生回答：二次函数的概念、表达式、图象性质，如何用二次函数解决实际问题等。
教师总结：本节课我们学习了二次函数的相关知识，二次函数在生活中有广泛的应用。同学们要理解二次函数的概念和性质，掌握用二次函数解决实际问题的方法，注意在解决问题过程中数学模型的建立和运用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业：教材课后习题第 1、2、3 题。
拓展作业：某商场将进价为\(30\)元的台灯以\(40\)元售出，平均每月能售出\(600\)个。调查发现，这种台灯的售价每上涨\(1\)元，其销售量就减少\(10\)个。为了实现平均每月\(10000\)元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
预习作业：预习二次函数与一元二次方程的关系，思考二次函数图象与\(x\)轴交点的横坐标和对应的一元二次方程的根有什么联系。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过生活情境导入，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在知识新授环节，通过逐步引导学生探究二次函数的概念、表达式和图象性质，培养了学生的自主学习能力和逻辑思维能力。在例题讲解和课堂练习环节，学生对二次函数知识的应用能力得到了一定的提高。但在教学过程中，部分学生对于二次函数图象性质的理解和应用还存在困难，需要在今后的教学中加强针对性的辅导和练习，同时进一步引导学生体会数学知识在实际生活中的应用价值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，写出y 关于x 的关系式；
y=6x2
问题2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大
分析：销售利润=（售价-进价）×销售量.
根据题意，求出这个函数关系式.
想一想，为什么要限定0≤x≤2？
想一想
问题1-2中函数关系式有什么共同点
y=6x2
函数都是用自变量的二次整式表示的
知识归纳
1.二次函数的定义：
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.
2.温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
探究一 二次函数的概念
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
方法归纳
探究二 列出二次函数的关系式
问题提出：有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子，设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
问题探究：（1）说说题中的等量关系.
无盖盒子的底面面积=无盖盒子底边边长2
（2）怎么求出无盖盒子底边边长呢？
正方形边长减去两个小正方形的边长.
探究二 列出二次函数的关系式
问题提出：有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子，设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
问题解决：
解：正方形的边长为80÷4=20（cm）
根据题意可得：
y=(20-2x)2=
4x2-8x+400
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A
2．下列二次函数中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，－1，0的是( )
A．y＝(x－2)(x＋1)
B．y＝(x－1)2－2x2－1
C．y＝(x＋2)(x－3)＋6
D．y＝(2x－1)2－3(x2－x)
C
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C
3．[2024福州期末]某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y(万元)关于x的函数关系式为( )
A．y＝9(1＋x)3
B．y＝9＋9x＋x2
C．y＝9＋9(1＋x)＋9(1＋x)2
D．y＝9(1＋x)2
4. 已知关于x的二次函数y＝(m－3)x2－x＋5，写一个符合条件的m的值：______________.
0(答案不唯一)
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5. [教材P4习题T3]已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝3时，y＝0；则b＝________，c＝________.
－2
－1
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6．如图，长方体的底面是边长为x的正方形，高为6，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝________，长方体的体积V＝________，
各棱长的和L＝________，在上面的三个函
数中，________是关于x的二次函数．
24x
6x2
8x＋24
V
7．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(m－2)·xm2－2＋x－1.
(1)当m为何值时，x，y之间是二次函数关系？
【解】根据题意，得m－2≠0且m2－2＝2，
所以m＝－2.
即当m＝－2时，x，y之间是二次函数关系．
(2)当m为何值时，x，y之间是一次函数关系？
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8．[2024西安月考]下列每组变量之间的关系为二次函数的是( )
A．正方形周长y与边长x的关系
B．菱形面积S一定，两条对角线的长a与b的关系
C．速度v一定时，路程s与时间t的关系
D．等边三角形的面积S与边长x的关系
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D
90
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二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c.(a ≠0，a,b,c是常数）
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