26.2.1二次函数y＝ax2的图象与性质 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
26.2.1 二次函数y＝ax 的
图象和性质
第26章　二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会用描点法画出y=ax2的图象.
2.观察二次函数y=x2的图象,掌握二次函数图象的基本性质.
3.比较a取不同值时二次函数y=ax2的图象,理解系数a对二次函数图象的影响.
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究一 二次函数y=ax2的图象
活动1：类比一次函数的研究内容和研究方法，小组之间相互交流讨论，画出二次函数 y = x2 的图象.
（1）列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
探究一 二次函数y=ax2的图象
（2）描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
（3）连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
探究一 二次函数y=ax2的图象
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
探究一 二次函数y=ax2的图象
练一练：画出函数y=-x2的图象.
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
探究一 二次函数y=ax2的图象
议一议：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2和y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
a.y＝x2是一条抛物线;
b.图象开口向上;
c.图象关于y轴对称;
d.顶点（ 0 ，0 ）;
e.图象有最低点．
a.y＝-x2是一条抛物线;
b.图象开口向下;
c.图象关于y轴对称;
d.顶点（ 0 ，0 ）;
e.图象有最高点．
探究一 二次函数y=ax2的图象
归纳总结：
1. 顶点都在原点;
3. 当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
二次函数y=ax2 的图象性质：
2. 图象关于y轴对称;
探究一 二次函数y=ax2的图象
交流讨论
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
探究二 二次函数y=ax2的性质
问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
对于抛物线y=ax2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
探究二 二次函数y=ax2的性质
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,-4)
(-1,-1)
(2,-4)
(1,-1)
对于抛物线y=ax2
（a< 0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
探究二 二次函数y=ax2的性质
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
探究二 二次函数y=ax2的性质
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小.
探究二 二次函数y=ax2的性质
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
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D
2．抛物线y＝－x2不具有的性质是(　　)
A．对称轴是y轴
B．开口向下
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标是(0，0)
C
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返回
A
3．[2024广东]若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　)
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3　
C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
4. 如果抛物线y＝(2a－1)x2的开口向下，那么实数a的值可能是_______________．
－2(答案不唯一)
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5．[2024泰安泰山区期中]已知函数y＝(m＋2)·xm2＋m－4是关于x的二次函数，当m＝________时，该二次函数有最小值，最小值为________；当m＝________时，在其图象的对称轴的左侧，y随着x的增大而增大．
2
0
－3
【点拨】∵函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，∴m2＋m－4＝2且m＋2≠0，解得m＝2或－3.
∵该二次函数有最小值，
∴抛物线开口向上．∴m＋2＞0.∴m＞－2.
∴m＝2，此时y＝4x2，最小值为0.
∵在其图象的对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，
∴m＋2＜0.∴m＜－2.∴m＝－3.
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6．如图所示，三个二次函数的图象分别对应的是①y＝a1x2；②y＝a2x2；③y＝a3x2；则a1，a2，a3的大小关系是__________．
a1＞a2＞a3
【点方法】抛物线的开口方向决定了a的正负性·，抛物线的开口大小决定了a的绝对值的大小·，即开口越大，|a|越小，开口越小，|a|越大．
【点拨】∵y＝a1x2的图象开口小于y＝a2x2的开口，且开口方向都向上，∴a1＞a2＞0.
∵y＝a3x2的图象开口向下，∴a3＜0.∴a1＞a2＞a3.
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7．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求y的值．
【解】∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a×12＝3.∴a＝3.
把x＝3代入y＝3x2中，得y＝3×32＝27.
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8．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
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C
9．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
【点拨】由一次函数y＝ax＋a可知，一次函数的图象与x轴交于点(－1，0)，排除A；
当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过一、二、三象限，排除B；
当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax＋a的图象经过二、三、四象限，排除C.
故选D.
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【答案】 D
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【答案】 A
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
谢谢观看！