人教新课标A版必修1数学3.1.1方程的根与函数的零点同步检测

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3.1.1方程的根与函数的零点同步检测
1．y＝x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　)
A．2；2 B．(2，0)；2 C．－2；－2 D．(－2，0)；－2
答案：B
解析：解答：　由y＝x－2＝0，得x＝2，故交点坐标为(2，0)，零点是2.
分析：图象与x轴的交点坐标即其零点
2．函数f(x)＝x2＋4x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<4 B．a>4 C．a≤4 D．a≥4
答案：　B
解析：解答：Δ＝16－4a<0，∴a>4.故选B.
分析：a>0. Δ<0函数图像与x轴没有交点，即函数没有零点。
3．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：A
解析：解答：方程x2＋x＋3＝0中，判别式Δ＝－11<0，故方程无实根，函数没有零点．
分析：根据一次二次方程求出Δ，Δ＝－11<0函数没有零点
4．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案：B
解析：解答：　由根与系数的关系得－3＋x＝－，∴x＝1.
即另一个零点是1，故选B.
分析：由根与系数的关系求出另一个根，从而求出零点
5．设函数f(x)＝x3－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
答案：B
解析：解答：令f(x)＝x3－()x－2，
则f(0)＝0－()－2＝－4<0，
f(1)＝1－()－2＝－1<0，
f(2)＝23－()0＝7>0，
f(3)＝27－()1＝26>0，
f(4)＝43－()2＝63>0，
∴f(1)·f(2)<0，
故x0所在的区间是(1，2)．
分析：求出f(1)，f(2)，f（3），f(4)的值，根据选项，f(a).f(b)<0确定零点区间。
6．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
答案：A
解析：解答：各函数零点A：x＝；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝.
又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1<0，
g＝4＋2×－2＝1>0，
∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于之间．从而选A.
分析：从选项入手，求出各答案零点，再根据g(x)零点区间确定答案
7．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是(　　)
A．0　 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：解答：
log5(x－1)＝0，解得x＝2，
∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.
分析：根据函数的定义解出log5(x－1)＝0的值，从而确定函数零点。
8．根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.78 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
A.(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
答案： C
解析：解答：设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1，2)．
故选C.
分析：解出f(a)，f(b)的值，f(a).f(b)<0则可确定函数零点区间。
9．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：解答：
当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，
故选C.
分析：先根据分段函数解出f(x)=0的解，从而确定函数零点个数
10．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0，2 B．0，－ C．0， D．2，
答案：B
解析：解答：由题意知2a＋b＝0，
∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
使g(x)＝0，则x＝0或－.
分析：根据f(x)零点确定a，b关系，解出g(x)对应方程的根，从而确定零点。
11．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
答案：B
解析：解答：由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
分析：根据方程根的个数判断确定a范围。
12．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(e，3)
答案：B
解析：解答：∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，
∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2，3)内有零点．
分析：根据答案求出（a），f(b)的值，f(a).f(b)<0可确定函数零点区间
13．下列函数不存在零点的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案：D
解析：解答：令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；只有D中函数无零点．
分析：y=0，解出x的值，无解则没有零点
14．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
答案：C
解析：解答：
令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象
y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．
分析：求出图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数即可．
15．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
答案：B
解析：解答：设f(x)＝x3－()x－2，
则f(0)＝0－()－2<0；f(1)＝1－()－1<0；f(2)＝23－()0>0.
∴函数f(x)的零点在(1，2)上．
分析：将其转化为求函数零点。
16．函数f(x)＝x2－4x－5的零点是________．
答案：－1或5
解析：解答：　x2－4x－5＝(x－5)(x＋1)＝0，∴x＝5或－1.
分析：先求出函数对应的方程的根，从而得出函数零点。
17．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点 ．
答案：－，－.
解析：解答：由题意知方程x2－ax－b＝0的两根分别为2和3，
∴a＝5，b＝－6，
∴g(x)＝－6x2－5x－1.
由－6x2－5x－1＝0得
x1＝－，x2＝－.
∴函数g(x)的零点是－，－.
分析：先根据f(x)确定a，b的值，再解出g(x)对应的方程的根即可。
18．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．
答案：0和2
解析：解答：
由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.
分析：先求出f(x-1)的解析式，再根据方程的根与函数的零点关系解出函数零点。
19．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
答案：－3
解析：解答：设方程f(x)＝0的另一根为x，
由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，
故x＝－3，即另一个零点为－3.
分析：根据韦达定理确定方程方程的解即可
20．若方程x2－2ax＋a＝0在(0，1)恰有一个解，求a的取值范围．
答案：a＜0或a＞1
解析：解答：
由题意知：f(0)·f(1)＜0，
即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．
或
∴a＜0或a＞1.
分析：由题意知f(0)·f(1)＜0，分情况讨论。
21．判断方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有没有实数根？为什么？
答案：有；设f(x)＝log2x＋x2，
∵f()＝log2＋()2＝－1＋＝－＜0，
f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有实根．
解析：解答：设f(x)＝log2x＋x2，
∵f()＝log2＋()2＝－1＋＝－＜0，
f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有实根．
分析：根据函数零点的判定定理，求出f()，f(1)， f()·f(1)＜0则存在零点
22．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，方程有一正一负两根。
答案：0＜a＜1
解析：解答：(1)因为方程有一正一负两根，
所以由根与系数的关系得，
解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．
分析：根据方程的根与函数零点的关系，判别式>0，两根积<0.联立方程组解出a即可。
23．已知函数f(x)＝3x－x2，求方程f(x)＝0在区间[－1，0]上实根的个数．
答案：1个
解析：解答：
∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝30－02＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0.
又函数f(x)在[－1，0]上的图象是连续曲线，
∴方程f(x)＝0在[－1，0]内有实根．
又函数f(x)＝3x－x2在[－1，0]上是增函数，
∴方程f(x)＝0在[－1，0]上只有一个实数根．
分析：根据函数零点的定义，求出f(－1)·f(0)<0.则存在零点，判断f（x）的单调性得出零点个数。
24．判断函数f(x)＝lnx－在区间(1，3)内是否存在零点．
答案：存在；因为函数f(x)＝ln x－的图象在[1，3]上是连续不断的一条曲线，且f(1) ＝－1<0，f(3)＝ln 3－>0，从而由零点存在性定理知，函数在(1，3)内存在零点．
解析：解答：因为函数f(x)＝ln x－的图象在[1，3]上是连续不断的一条曲线，且f(1) ＝－1<0，f(3)＝ln 3－>0，从而由零点存在性定理知，函数在(1，3)内存在零点．
分析：求出f(1)，f(3)根据函数零点的定义可知存在零点。
25．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值集合．
答案：[，3].
解析：解答：解答：∵－是函数的一个零点，
∴f(－)＝0.
∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上递增，
∴当logx≤0，即x≥1时，logx≥－，解得x≤3.即1≤x≤3.
由对称性可知，当logx>0时，≤x<1.
综上所述，x的取值范围为[，3].
分析：根据题意分析出f(logx)≥0时logx≤0分情况解出x
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