26.2.2.5二次函数求最值 课件(共24张PPT)

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名称 26.2.2.5二次函数求最值 课件(共24张PPT)
格式 pptx
文件大小 3.8MB
资源类型 试卷
版本资源 华东师大版
科目 数学
更新时间 2025-04-30 17:35:42

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文档简介

(共24张PPT)
26.2.2.5二次函数求最值
第26章 二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
学习目标
1.会通过配方法求二次函数的最值
2.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,建立函数模型
3.能运用二次函数解决相关实际问题,计算几何图形面积的最大值
通过探索实际问题中数量关系的过程,体会建立二次函数模型的思想,培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中,培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力,体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中,培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系,能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时,如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法:系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点,确保学生掌握基础知识。
探究法:组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质,培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法:通过针对性的练习题,让学生巩固所学的二次函数知识,提高应用能力。
四、教学过程
(一)情境导入(5 分钟)
教师展示一些生活中的实际问题情境图片,如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问:同学们,观察这些图片,你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗?这些曲线所代表的数学模型是什么呢?
引导学生思考并讨论,引出本节课的主题 —— 二次函数。
(二)知识新授(25 分钟)
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式,如\(y = 2x^2\),\(y = -3x^2 + 2x - 1\),\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问:观察这些函数表达式,它们有什么共同特征?
引导学生分析发现:这些函数的表达式都是整式,自变量的最高次数是 2,且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义:一般地,形如\(y = ax^2 + bx + c\)(\(a\),\(b\),\(c\)是常数,\(a\neq0\))的函数,叫做二次函数。其中\(x\)是自变量,\(a\),\(b\),\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)(\(a\neq0\)),并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数,让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式:当\(b = 0\)时,\(y = ax^2 + c\);当\(c = 0\)时,\(y = ax^2 + bx\);当\(b = c = 0\)时,\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表:选取一些自变量\(x\)的值,计算出对应的函数值\(y\)。
描点:在平面直角坐标系中,将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线:用平滑的曲线将这些点依次连接起来,得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象,提问:图象的开口方向是怎样的?图象有对称轴吗?对称轴方程是什么?图象有最高点或最低点吗?其坐标是多少?
学生观察、思考并回答问题,教师进行总结:二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上,对称轴是\(y\)轴(即直线\(x = 0\)),图象有最低点,最低点的坐标是\((0,0)\),这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时,\(y\)随\(x\)的增大而减小;当\(x\gt0\)时,\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)(\(a\neq0\))的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值(\(a\gt0\)和\(a\lt0\))时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象,总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响:当\(a\gt0\)时,抛物线开口向上;当\(a\lt0\)时,抛物线开口向下。同时,\(|a|\)越大,抛物线的开口越窄;\(|a|\)越小,抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标,\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴(直线\(x = 0\)),顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)(\(a\neq0\))的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式(其中\(h = -\frac{b}{2a}\),\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\))。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\),顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时,抛物线开口向上,在对称轴左侧,\(y\)随\(x\)的增大而减小;在对称轴右侧,\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时,抛物线开口向下,在对称轴左侧,\(y\)随\(x\)的增大而增大;在对称轴右侧,\(y\)随\(x\)的增大而减小。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
思考: 二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定?
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数y=ax2+bx+c的最值由a及自变量的取值范围决定.
当x为全体实数时,二次函数y=ax2+bx+c的最值如下:
当a>0时,有 ,此时 .
当a<0时,有 ,此时 .
当自变量x取值有限制时,二次函数的最值就要分情况来讨论.
例1.求下列函数的最大值与最小值.
(1)y=x2+4x-2(-3≤x≤1)
解:(1)y=x2+4x-2=(x+2)2-4-2
x=-3时,y=9-12-2=-5
=(x+2)2-6
∴二次函数的对称轴是x=-2
∵-3<-2<1,且a>0
∴-3≤x<-2时,y随x的增大而减小,-2<x≤1时,y随x的增大而增大
∴x=-2时,ymin=4-8-2=-6
x=1时,y=1+4-2=3
∴x=1时,ymax=1+4-2=3
(2) (-3≤x≤1)
∴二次函数的对称轴是x=-5
∵-5<-3,且a<0
∴当-3≤x≤1时,y随x的增大而减小
∴x=-3时,ymax=
x=1时,ymin=
归纳总结
当自变量的范围有限制时,二次函数y=ax2+bx+c的最值确定步骤:
1.配方,求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.判断,判断函数开口方向及x的取值范围与对称轴的位置关系.
3.根据二次函数的性质,确定当x取何值时函数有最大或最小值;
然后根据x的值,求出函数的最值.
例2.如图,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,
这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
解:设矩形面积为S m2,与墙平行的一边为x m,则
(0<x≤18)
当x=30,S取得最大值,但是由于x取值范围的限制,x取不到30.
因为二次项系数a<0,当x<30时,S随x的增大而增大.
故当x=18时,S有最大值是378.
1.[2024深圳期中]已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,顶点坐标为(-3,2),那么该抛物线有(  )
A.最小值-3
B.最大值-3 
C.最小值2
D.最大值2
返回
【点拨】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种是由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是
公式法.
【答案】 D



2. 如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为14 m,则所围成的矩形ABCD的最大面积是(  )
A.50 m2
B.49 m2
C.46 m2
D.48 m2
B
[变式] 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为(  )
A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.不确定
B
返回
返回
C
3. 已知二次函数y=-(x+1)2+3,若-3≤x≤2,则函数y的最小值和最大值分别是(  )
A.-1,3 B.0,3
C.-6,3 D.-6,-1
4.若一次函数y=(a+1)x+a的图象经过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2-ax有最______值,最值为______(用含a的字母表示).

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5.如图,已知 ABCD的周长为8 cm,∠B=30°,若边长AB=x cm.
(1) ABCD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为____________,自变量x的取值范围为________;
0返回
(2)当x取________时,y的值最大,最大值为________.
2
2
6.[2024湖北]学校要建一个矩形花圃(如图),其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42 m,篱笆长80 m.设垂直于墙的边AB长x m,平行于墙的边BC长y m,围成的矩形面积为S m2.
(1)求y与x,S与x的关系式.
【解】由题意,得2x+y=80,∴y=-2x+80.
由题意,得0<-2x+80≤42,且x>0,
∴19≤x<40.由题意,得S=AB·BC=x(-2x+80),
∴S=-2x2+80x(19≤x<40).
(2)围成的矩形花圃的面积能否为750m2,若能,求出x的值.
【解】能.假设围成的矩形花圃的面积为750 m2.由题意,令S=-2x2+80x=750,解得x=15(舍去)或x=25.
∴当x=25时,围成的矩形花圃的面积为750 m2.
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(3)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.
【解】存在最大值.由(1)知,S=-2x2+80x=
-2(x-20)2+800.∵-2<0,且19≤x<40,
∴当x=20时,S取得最大值,最大值为800.∴围成的矩形花圃的最大面积为800 m2,此时x的值为20.
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处,则要利用函数的增减性来确定
谢谢观看!