26.2.3求二次函数的表达式 课件（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 26.2.3求二次函数的表达式 课件（共26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-30 17:36:39 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
26.2.3求二次函数的表达式
第26章 二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
例1：已知一个二次函数图像经过点（-3,0）,（-1,0）,（0,-3）,
试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
9a-3b+c=0
a-b+c=0
c=-3
解得
a=-1
b=-4
c=-3
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
(4)还原：
(1)设：
(2)代：
(3)解：
把(-3,0),(-1，0),(0,-3)代入y=ax2+bx+c得:
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
例2.已知一个二次函数图像顶点为（-2，1），且经过点（1，-8），
试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
顶点法求二次函数表达式的方法
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例3.已知一个二次函数图像经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，
试求出这个二次函数的表达式.
解：∵(-3，0)、(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
因此y=a(x+3)(x+1)
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3
解得a=-1
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1、x2为交点的横坐标)
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到
关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
交点法求二次函数表达式的方法
返回
C
A
返回
返回
B
3．[2024宁波月考]有一个二次函数，已知其图象过(2，0)，(5，0)两点，且与y＝2x2的形状一致，那么该二次函数的表达式为( )
A．y＝x2＋14x＋10 B．y＝2x2－14x＋20
C．y＝2x2＋14x＋20 D．y＝x2－14x＋10
4. 一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是_______________________．
y＝－x2＋1(答案不唯一)
返回
5．[2024三门峡期中]如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，OB＝OC＝3OA，则该抛物线的表达式是___________．
y＝x2－2x－3
返回
6．[2024丽水期末]已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图象如图所示．
(1)求c的值；
【解】∵二次函数y＝ax2＋2x＋c
(a≠0)的图象经过点(0，3)，
∴将点(0，3)的坐标代入y＝
ax2＋2x＋c(a≠0)，得c＝3.
返回
(2)求函数的表达式．
【解】∵函数图象经过点A(3，0)，
∴把点A(3，0)的坐标代入y＝ax2＋2x＋3，解得a＝－1.
∴函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
7. 小明在用“描点法”探究二次函数图象的性质时，画出了以下表格：
x … －1 0 1 2 3 …
y … a b －4 －3 c …
B
返回
8． 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，－4)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过x轴上的点A，B，则抛物线的表达式为_________________．
返回
y＝(x－4)2－4
返回
1.二次函数表达式的三种形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a≠0)
(3)交点式：y＝a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
交点式
顶点式
一般式
配方
因式分解
2.二次函数表达式的类型及适用情况
表达式类型 表达式 适用情况
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 已知图象上三个任意点的坐标
y=ax2+bx(a≠0) 图象经过原点，又知另两个
任意点的坐标
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 已知图象与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)，
又知另一个任意点的坐标
表达式类型 表达式 适用情况
顶点式 y=ax2(a≠0) 已知顶点坐标为(0，0)，
又知另一个任意点的坐标
y=ax2+k(a≠0) 已知顶点坐标为(0，k)，
又知另一个任意点的坐标
y=a(x-h)2(a≠0) 已知顶点坐标为(h，0)，
又知另一个任意点的坐标
y=a(x-h)2+k(a≠0) 已知顶点坐标为(h，k)，
又知另一个任意点的坐标
谢谢观看！
26.2.3求二次函数的表达式
第26章 二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
例1：已知一个二次函数图像经过点（-3,0）,（-1,0）,（0,-3）,
试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
9a-3b+c=0
a-b+c=0
c=-3
解得
a=-1
b=-4
c=-3
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
(4)还原：
(1)设：
(2)代：
(3)解：
把(-3,0),(-1，0),(0,-3)代入y=ax2+bx+c得:
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
例2.已知一个二次函数图像顶点为（-2，1），且经过点（1，-8），
试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
顶点法求二次函数表达式的方法
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例3.已知一个二次函数图像经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，
试求出这个二次函数的表达式.
解：∵(-3，0)、(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
因此y=a(x+3)(x+1)
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3
解得a=-1
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1、x2为交点的横坐标)
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到
关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
交点法求二次函数表达式的方法
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C
A
返回
返回
B
3．[2024宁波月考]有一个二次函数，已知其图象过(2，0)，(5，0)两点，且与y＝2x2的形状一致，那么该二次函数的表达式为( )
A．y＝x2＋14x＋10 B．y＝2x2－14x＋20
C．y＝2x2＋14x＋20 D．y＝x2－14x＋10
4. 一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是_______________________．
y＝－x2＋1(答案不唯一)
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5．[2024三门峡期中]如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，OB＝OC＝3OA，则该抛物线的表达式是___________．
y＝x2－2x－3
返回
6．[2024丽水期末]已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图象如图所示．
(1)求c的值；
【解】∵二次函数y＝ax2＋2x＋c
(a≠0)的图象经过点(0，3)，
∴将点(0，3)的坐标代入y＝
ax2＋2x＋c(a≠0)，得c＝3.
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(2)求函数的表达式．
【解】∵函数图象经过点A(3，0)，
∴把点A(3，0)的坐标代入y＝ax2＋2x＋3，解得a＝－1.
∴函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
7. 小明在用“描点法”探究二次函数图象的性质时，画出了以下表格：
x … －1 0 1 2 3 …
y … a b －4 －3 c …
B
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8． 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，－4)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过x轴上的点A，B，则抛物线的表达式为_________________．
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y＝(x－4)2－4
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1.二次函数表达式的三种形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a≠0)
(3)交点式：y＝a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
交点式
顶点式
一般式
配方
因式分解
2.二次函数表达式的类型及适用情况
表达式类型 表达式 适用情况
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 已知图象上三个任意点的坐标
y=ax2+bx(a≠0) 图象经过原点，又知另两个
任意点的坐标
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 已知图象与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)，
又知另一个任意点的坐标
表达式类型 表达式 适用情况
顶点式 y=ax2(a≠0) 已知顶点坐标为(0，0)，
又知另一个任意点的坐标
y=ax2+k(a≠0) 已知顶点坐标为(0，k)，
又知另一个任意点的坐标
y=a(x-h)2(a≠0) 已知顶点坐标为(h，0)，
又知另一个任意点的坐标
y=a(x-h)2+k(a≠0) 已知顶点坐标为(h，k)，
又知另一个任意点的坐标
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