26.3.1 实践与探索 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
26.3.1 实践与探索
第26章　二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会建立二次函数模型,解决与之相关的运动物体中的实际问题
2.会运用二次函数模型解决销售中最大利润等问题,体会运用数学模型选择最优化方案
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
例1. 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，水面宽是4米时，
拱顶离水面2米.求出水面宽3米时，拱顶离水面多少米？
分析:因为纵截面是抛物线的一部分，所以应当
是个二次函数，因此我们可以建立函数模型.
显然以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，
建立直角坐标系最为简便．
解:以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，
建立直角坐标系，如图．
由于顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式为y=ax2
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，
由此得出-2=a·22，
解得a=-0.5.
二次函数的为y=-0.5x2.
宽度为3时，x=1.5，这时y=-1.125.
因此水面宽3米时，拱顶离水面1.125米.
(1)建立合适的平面直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求的函数表达式；
(4)代入已知条件或点的坐标，求出函数表达式；
(5)利用函数表达式解决问题．
解决拱桥问题的一般步骤：
例2.如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，
篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离
为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面
3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
解：如图，建立直角坐标系
x
y
O
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5），
以点C表示运动员投篮球的出手处
解得
a=-0.2
k=3.5
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=ax2+k
所以该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5
2.25a+k=3.05
k=3.5
x
y
O
而点A，B在这条抛物线上，所以有
故该运动员出手时的高度为2.25m
当x=-2.5时，y=2.25
(1)分析并建立恰当的直角坐标系；
(2)实际特殊位置准确地转化成点的坐标；
(3)根据题目中所给的条件求解．
解决运动中的抛物线问题的一般步骤：
例3.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，x取何值时，获得的总利润最大.
分析：总利润=盆景利润+花卉利润
单个品种总利润=品种单价利润×销售量
解：设总利润为W，盆景利润为W1,花卉利润为W2
由题意有：W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000
W2=19(50-x)=-19x+950
∴W=W1+W2=-2x2+60x+8000+(-19x+950)=-2x2+41x+8950
∴对称轴：直线x=
又∵-2＜0，x只能取整数且0＜x＜50
∴x=10时，Wmax=9160(元)
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
解决利润最大化问题的一般步骤：
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1．[2024张家口一模]如图是一款抛物线形落地灯的示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5 m，最高点C距灯柱的水平距离为1.6 m，灯柱AB＝1.5 m，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为(　　)
A．3.2 m B．0.32 m
C．2.5 m D．1.6 m
A
2．如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判
定货车________完全停到车
棚内(填“能”或“不能”)．
能
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7
3. 某市民广场有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m
的他站立时必须在与水池中心O
距离________m以内的地方．
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4. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率
P最大为(　　)
A．160 W B．180 W
C．200 W D．220 W
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【答案】D
5. 刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝0.45 m，与锅的水平距离L＝0.3 m，锅的半径R＝0.5 m．
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D
拱桥问题
运动中的抛物线问题
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
转化的关键
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本
确定自变量取值范围
涨价:要保证销售量≥0
降件:要保证单件利润≥0
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出
谢谢观看！