26.3.3 实践与探索 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
26.3.3 实践与探索
第26章　二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.能利用两个函数图象求方程的解
2.能利用两个函数的图象，求不等式的解集
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
y=x2+x-2
y=x2-6x+9
y=x2-x+1
例1.画出下列二次函数，对图象进行观察并回答下列问题：
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
（一）二次函数与一元二次方程
(1)抛物线y = x2－x＋1与x轴公共点个数为____,方程x2-x+1=0________.
(2)抛物线y = x2－6x＋9与x轴公共点个数为____,方程x2－6x9=0
______________________.
(3)抛物线y = x2＋x－2与x轴公共点个数为____,方程 x2＋x－2=0
______________________.
0
无解
1
有两个相等的实数解
2
有两个不相等的实数解
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
y=x2+x-2
y=x2-6x+9
y=x2-x+1
二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系：
1.如果抛物线y=ax2+bx+c与____有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x=_____时，函数值是0，因此x=_____是方程的ax2+bx+c=0一个根.
2.二次函数的图像与_____的位置关系有三种：______公共点，_______公共点，_______公共点，对应着一元二次方程的根的三种情况：__________根，________________根,_______________________根.
x轴
x0
x0
x轴
没有
有两个
有一个
没有实数
有两个相等的实数
有两个不相等的实数
归纳总结
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
例2.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-1=3的近似根.
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-4和x轴的交点的横坐标；
解：(1)原方程可变形为x2+2x-4=0；
(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-4的图象；
方法一：
（二）利用二次函数求一元二次方程根的近似值
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
例2.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-1=3的近似根.
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-4与-3之间,另一个在1与2之间,分别约为-3.2和1.2.
（4）由此可知,一元二次方程x2+2x-1=3的近似根为：x1≈-3.2,x2≈1.2.
(1)作二次函数y=x2的图象；
(2)作一次函数y=-2x+4的图象；
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-1和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-4与-3之间,另一个在1与2之间,分别约为-3.2和1.2.
（4）由此可知,一元二次方程x2+2x-1=3的近似根为x1≈3.2,x2≈1.2.
2
x
y
2
4
4
-2
-4
o
-2
方法二：
想一想：还有没有别的办法求这个方程的近似根？
两个函数图象的交点坐标就是对应函数解析式所组成的方程组的解.
函数解析式对应方程的根，就是该函数图象与x轴交点的横坐标；
归纳总结
（三）二次函数与不等式
例3.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试着求出下列不等式的解集.
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
(1)不等式ax2+bx+c>0的解集;
(2)不等式ax2+bx+c<0的解集.
方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；
(1)x<-1或x>3时，函数的图象位于x轴上方，即y>0,故ax2+bx+c>0的解集为：
x<-1或x>3；
(2)-10的解集为：
-1例3.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试着求出下列不等式的解集.
(3)不等式ax2+bx+c>2的解集;
(4)不等式ax2+bx+c<2的解集.
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
y=2
(-1.5,0)
(3.5,2)
方程ax2+bx+c=2的根是x1=-1.5，x2=3.5；
(3)x<-1.5或x>3.5时，函数的图象位于直线y=0上方，即y>2,故ax2+bx+c>0的解集为：
x<-1.5或x>3.5；
(3)-1.50的解集为：
-1.5例3.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试着求出下列不等式的解集.
(5)不等式ax2+bx+c<-5的解集;
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
y=-5
直线y=-5与函数y=ax2+bx+c图象没有交点,
故不等式ax2+bx+c<-5无解.
函数y=ax2+bx+c的图象始终位于直线y=-5上方，
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系：
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，当a＞0时，y＜0，则___________;y＞0，则_______________.当a＜0时，y＜0，则______________;y＞0，则_______________.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，当a＞0时，y>0，则_______________________;y＜0，______;当a＜0时，y>0，______;
y＜0，则__________________________.
x1＜x＜x2
x2＜x或x＜x2
x2＜x或x＜x2
x1＜x＜x2
解是除x0之外的所有实数
无解
无解
解是除x0之外的所有实数
归纳总结
8．[2024安庆期中]在平面直角坐标系中，已知函数y1＝
x2＋ax＋1，y2＝x2＋bx＋2，y3＝x2＋cx＋4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，若M1＝1，M2＝0，则M3的值是(　　)
A．2 B．1或2 C．0 D．1
【答案】 C
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【点拨】如图①，当点P1(n，y1)，P2(n＋1，y2)，P3(n＋2，y3)三点同时在一次函数y＝kx＋b(k≠0)上时，过点P1作P1A⊥x轴于点A，过点P2作P2B⊥x轴于点B，过点P3作P3C⊥x轴于点C.
【答案】 B
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10. 若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t为常数，t≠－1)总有两个不同的“倍值点”，则s的取值范围是(　　)
A．s<－1 B．s<0
C．0【点拨】 将点(k，2k)的坐标代入二次函数，得2k＝
(t＋1)k2＋(t＋2)k＋s，整理，得(t＋1)k2＋tk＋s＝0.由题意可知，(t＋1)k2＋tk＋s＝0总有两个不相等的实数根，∴Δ＝t2－4ts－4s>0，且对于任意的实数s，t2－4ts－4s>0总成立，故关于t的一元二次方程t2－4st－4s＝0没有实数根，故16s2＋16s<0，解得－1【答案】 D
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11．[2024连云港月考]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为______________．
x＜3或x＞5
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且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE的左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是_____________．
返回
二次函数与一元二次方程
一元二次方程求解
当y取定值且a≠0时，二次函数y=ax2+bx+c为一元二次方程.根据函数图象与x轴的交点个数确定一元二次方程ax2+bx+c=0根的个数
求一元二次方程根的近似值
画出函数图象，根据图象与x轴的交点位置和函数图象的对称性求根的近似值
求不等式的解集
画出函数图象，根据图象与x轴的交点个数、位置和函数图象所在象限求不等式的解集
谢谢观看！