27.1.2.2 圆的对称性 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
27.1.2.2 圆的对称性
第27章 圆
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题
教学重点
圆的定义及圆的基本元素的概念，尤其是帮助学生区分相似概念，如弦与直径、优弧与劣弧等。
同圆或等圆中半径相等这一性质的理解和应用，通过多样化的例题让学生熟练掌握该性质在不同情境下的运用。
教学难点
对圆的集合定义的深入理解，通过具体的点的位置判断、动态演示等方式，让学生真正领会平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
灵活运用圆的基本元素的性质解决综合性相关问题，通过逐步引导和练习，提升学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学方法
讲授法：以清晰、准确且生动的语言，向学生系统讲解圆的定义、基本元素的概念及相关性质，确保学生扎实掌握基础知识。在讲解过程中，注重概念的引入和解释，让学生理解知识的来龙去脉。
直观演示法：充分利用多媒体课件、圆规、直尺等工具，通过动态演示、实物操作等方式，直观展示圆的形成过程、各基本元素的特征，帮助学生建立直观且深刻的认识。例如用动画展示圆的集合定义的形成过程。
小组合作探究法：精心组织学生进行小组讨论和合作探究活动，设置有启发性的问题，让学生在交流互动中深化对圆的基本元素的理解，培养学生的合作能力和探究精神。如让小组探究同圆中不同弦长与圆心距离的关系。
练习巩固法：设计针对性强、层次分明的练习题，从基础到提高再到拓展，让学生及时巩固所学知识，逐步提高学生运用知识解决问题的能力。同时，在练习过程中及时反馈和指导，帮助学生查漏补缺。
问题引导法：在教学过程中，适时提出有思考价值的问题，引导学生主动思考、积极探索，培养学生的思维能力。如在讲解圆的基本元素时，提问学生生活中哪些现象可以用这些元素来解释。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
运用多媒体展示生活中各种含有圆的精美图片，如车轮、摩天轮、圆形餐盘、奥运五环等，同时播放一些与圆相关的动态视频，如旋转的风扇、滚动的篮球等。
提问：同学们，在我们五彩斑斓的生活中，圆无处不在。大家仔细观察这些图片和视频，开动脑筋想一想，为什么车轮要做成圆形，而不是三角形、方形等其他形状呢？圆形的车轮在滚动过程中有什么独特的优势呢？
鼓励学生大胆发言，分享自己的想法，然后引导学生进行简单的讨论和交流，引发学生对圆的强烈好奇心和探究欲望，从而自然地引出本节课的课题 —— 圆的基本元素。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现
了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？
1
垂径定理及其推论
O
O
O
归纳：圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
问题 2：已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AA'是弦，且CD⊥AA'，
垂足为M.求证：CD是AA'的垂直平分线.
·
O
A
A'
D
M
C
证明：连接OA，OA'.
在△OAA'中，
∵OA=OA'，
∴△OAA'是等腰三角形.
又∵AA'垂直CD,
∴MA=MA'.
即CD是AA'的垂直平分线.
从上面过程中我们可以知道：
从把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，
AM与A'M重合，AC和A'C,AD与A'D重合．
(
(
(
(
即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA' .
(
(
·
O
A
A'
D
M
C
垂直定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
·
O
A
B
C
D
E
应用格式：
如图，∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，AD=BD,AC=BC.
(
(
(
(
归纳总结：
思考1：反过来，如果直径平分不是直径的弦，那么该直径垂直于这条弦，
且平分这条弦所对的两条弧吗？
·
O
A
B
C
D
E
如图，如果CD平分AB .
那么我们可以证明出△AOE≌△BOE(SSS).
从而得知∠AEO=∠BEO=90°，那么就有CD⊥AB.
再由垂直定理得出CD平分AB和ACB.
(
(
思考2：那么平分弧的直径是不是垂直平分这条弧所对的弦？
·
O
A
B
C
D
E
那么我们可以证明出△AOE≌△BOE(SAS).
从而得知∠AEO=∠BEO=90°，
那么就有CD⊥AB.
如图，设点D为弧AB的中点，CD为圆O的直径.连接OA、OB、AB，且CD交AB于点E.
垂直定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
注意：因为圆的两条直径是互相平分的,所以不是直径这个条件不能去掉.
归纳总结：
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
例1.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作 OE⊥AB，垂足为E，则
·
O
A
B
E
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
圆心到弦的距离
叫做弦心距.
例2.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC= 2cm，
求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设 OC = x cm，则OD = (x － 2)cm，根据勾股定理，得
x2 = 42 + ( x－2)2 ，
解得 x=5.
即半径OC的长为5cm.
∴ .
例3. 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD.
(
(
.
C
D
A
B
O
M
N
解：证明：作直径 MN⊥AB，如图.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM，（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
(
(
(
(
∴AM－CM＝BM－DM，
(
(
(
(
∴AC＝BD.
(
(
例4. 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高
(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，
交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.
A
B
O
C
D
∴r2 = (r-7.2)2 +18.72.
解得 r ≈ 27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.
由勾股定理，得
OD=r-7.2，AD=18.7.
设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中，AO=r，
由垂径定理，得AD = AB = 18.7 m，
5.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，求拱桥的半径.
解：连接OA，设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E，
O
E
D
设拱桥的半径为x m，
解得x=34.
则(x-18)2+302=x2,
即拱桥的半径为34m.
则AD=BD= AB=30 m，DE=18m.
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1．下列说法正确的是(　　)
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧
D
2. [教材P40练习T2]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
B
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3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是(　　)
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜5
【点拨】连结OA，作OC⊥AB于点C.
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5.∴OM的最大值为5.
∵OC⊥AB于M，
∴AC＝BC.又∵AB＝6，∴AC＝3.
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【答案】 B
4. AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的直径为10，AB∥CD，则AB与CD之间距离为(　　)
A．1 B．7
C．7或1 D．无法确定
【点拨】如图所示，连结OA，OC.过点O作直线EF⊥AB于E，交CD于F.
∵AB∥CD，∴EF⊥CD.
∵⊙O的直径为10，∴OA＝OC＝5.
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【答案】 C
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
谢谢观看！