(共38张PPT)
27.1 图形的相似
第二十七章 相似
人教版数学九年级下册
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
学习目标
了解相似图形和相似比的概念.
理解相似多边形的定义.
能根据多边形相似进行相关的计算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念,能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性,掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程,体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动,敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性,体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性,理解原命题为真,其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
(一)导入新课(5 分钟)
展示一些简单的命题,如 “如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” ,“如果 a=b,那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问:能否交换这些命题的题设和结论,得到新的命题?新命题是否成立?从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
(二)讲授新课(25 分钟)
互逆命题
给出互逆命题的定义:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明:如原命题 “如果两个角是直角,那么这两个角相等”,它的逆命题是 “如果两个角相等,那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论,每个小组写出 3 - 5 个命题,并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题,需要通过推理证明;对于假命题,只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例,分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角,那么这两个角相等” 是真命题,而它的逆命题 “如果两个角相等,那么这两个角是直角” 是假命题,因为两个相等的角不一定是直角,还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性,并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明:如 “两直线平行,同位角相等” 和 “同位角相等,两直线平行” 是互逆定理。
强调:并不是所有的定理都有逆定理,只有当定理的逆命题为真命题时,才有逆定理。
(三)例题讲解(15 分钟)
例 1:写出下列命题的逆命题,并判断其真假。
(1)如果 a = 0,那么 ab = 0。
(2)全等三角形的对应角相等。
(3)等腰三角形的两个底角相等。
分析:
(1)逆命题为 “如果 ab = 0,那么 a = 0”,这是假命题,因为当 b = 0 时,ab = 0,a 不一定为 0。
(2)逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”,这是假命题,因为对应角相等的三角形不一定全等,可能是相似三角形。
(3)逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”,这是真命题,它是等腰三角形的判定定理。
例 2:证明命题 “如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析:引导学生画出图形,写出已知、求证,然后进行证明。
已知:在△ABC 中,∠B = ∠C。
求证:AB = AC。
证明:作∠BAC 的平分线 AD,交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC,所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中,
∠B = ∠C,
∠BAD = ∠CAD,
AD = AD(公共边),
所以△ABD≌△ACD(AAS)。
所以 AB = AC。
(四)课堂练习(10 分钟)
写出下列命题的逆命题,并判断真假。
(1)如果 x = 2,那么 x = 4。
(2)直角三角形的两个锐角互余。
(3)对顶角相等。
判断下列说法是否正确:
(1)每个命题都有逆命题。
(2)每个定理都有逆定理。
(3)真命题的逆命题一定是真命题。
(4)假命题的逆命题一定是假命题。
(五)课堂小结(5 分钟)
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念,以及如何判断命题的真假。
强调:原命题为真,逆命题不一定为真;原命题为假,逆命题也不一定为假。
(六)布置作业(5 分钟)
课本课后习题,要求学生认真书写解题过程,判断命题真假时要说明理由。
拓展作业:收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题,并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中,要注重引导学生积极思考、主动参与,通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误,要及时给予纠正和指导。在今后的教学中,可以进一步加强练习,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
我们刚才所见到的图形有什么联系?
【想一想】
其中一个图形可以看作是另一个图形放大或者缩小得到的.
导入新知
全等图形
指能够完全重合的两个图形,
观察
即它们的形状和大小完全相同.
探究新知
知识点 1
相似图形的定义
黄山松
探究新知
探究新知
【思考】这两组照片有什么特点
黄山松
【想一想】我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方
相同点:
不同点:
形状相同.
大小不同.
探究新知
两个图形的形状 ________,但图形的大小位置 __________,这样的图形叫做相似图形.
完全相同
不一定相同
探究新知
归纳总结
图形的放大
探究新知
图形的放大
探究新知
图形的缩小
两个图形相似
探究新知
两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
相似图形的关系
探究新知
【思考】你见过哈哈镜吗?哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似?
探究新知
在下列图形中,找出相似图形.
巩固练习
下图是两个等边三角形,它们相似吗 它们的对应角、对应边分别有什么关系
B
C
A
B
′
C
A
′
′
∠A= ∠A′
∠B= ∠B′
∠C= ∠C′
两个等边三角形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
探究新知
观
察
与
思
考
知识点 2
相似多边形的定义和相似比的概念
【思考】下图是两个正六边形,它们相似吗 它们的对应角、对应边分别有什么关系
两个正六边形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
从上述两个问题的探索中你能得到什么结论
两个边数相等的正多边形相似,且对应角相等、对应边成比例.
探究新知
任意两个相似三角形,它们的对应角相等吗 对应边成比例吗
【结论】任意两个相似三角形,它们的对应角相等!对应边成比例!
探究新知
图中两个四边形是相似形,仔细观察这两个图形,它们的对应边之间是否有以上的关系呢?对应角之间又有什么关系?
【结论】任意两个相似多边形,它们的对应角相等!对应边成比例!
探究新知
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫做相似比.
相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
相似比:
相似多边形的特征:
相似多边形的定义:
归纳:
探究新知
【思考】
任意的两个菱形(或矩形)是否相似?为什么?
探究新知
如图,四边形 ABCD 和 EFGH 相似,求角α,β的大小和EH的长度 x.
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
探究新知
考点1 1
利用相似多边形的定义求线段、角的值
在四边形ABCD中,
∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°.
∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°.
解:∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似,
∴ 它们的对应角相等.由此可得
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
探究新知
∵ 四边形ABCD和EFGH相似,
∴它们的对应边成比例,由此可得
解得 x = 28 .
,即 .
探究新知
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
如图所示的两个五边形相似,求未知边a、b、c、d的长度.
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
巩固练习
解:相似多边形的对应边的比相等,由此可得
, , , ,
解得:a=3,b=4.5,c=4,d=6.
所以未知边a,b,c,d的长度分别为3,4.5,4,6.
1.制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元
链接中考
C
D
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1.
[2024连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为( )
A.甲和乙 B.乙和丁
C.甲和丙 D.甲和丁
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B
2.
[2024平顶山期末]已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则线段d的长为( )
A.1 cm
B.4 cm
C.2 cm
D.9 cm
C
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3.
下列四条线段成比例的是( )
4.
【点拨】
【答案】A
返回
5.
返回
[2024扬州期末]小薛同学在学习了“比例线段”后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程(如图),请在下面横线上填写适当的数值,感受这种特殊化的学习过程.
3
6.
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在一张比例尺为1:600的设计图纸上,量得一正方体建筑物的棱长是30 cm.这个建筑物的实际占地面积是多少?
7.
【点拨】
【答案】D
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8.
相似图形
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的大小不一定相同
相似多边形对应边的比叫做相似比
对应角相等,对应边成比例
图形的相似
相似多边形
课堂小结
谢谢观看!