27.2.3 相似三角形应用举例 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
27.2.3 相似三角形应用举例
第二十七章 相似
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简单的几何推理.
进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，能利用相似三角形的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高度和宽度的测量问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？
2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
导入新知
导入新知
用我们学过的知识怎样测量前面那些物体的高度呢？
利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物
体的高度及两物之间的距离问题.
导入新知
古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度.
探究新知
知识点 1
利用相似三角形测物体
据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF.
又∠AOB＝∠DFE＝90°,
∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高为134m．
考点 1
利用相似三角形测物体的高
探究新知
怎样测出OA的长？
∴ ,
∴
【讨论】利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？
【方法总结】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．利用太阳光测量物体的高度需要注意：
（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．
（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．
（3）表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长.
探究新知
在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？
∵△ABC ∽ △A'B'C',
解得 A'C'=54m.
答：这栋高楼的高度是54m.
解：
A
B
C
1.8m
3m
A'
B'
C'
90m

巩固练习
∴ ,
即 .
A
F
E
B
O
┐
┐
还有其他测量方法吗？
△ABO∽△AEF
平面镜
【想一想】
探究新知
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
探究新知
注：反射角与入射角相等是隐含条件.
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点
P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，
刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 （ ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
B
巩固练习
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，
ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
解得PQ＝90.
P
Q
R
S
T
a
b
∴ △PQR∽△PST．
因此，河宽大约为90m.
探究新知
考点 2
利用相似三角形测物体的宽
∴ ,
即 ,
【讨论】测量前面例题中的河宽，你还有哪些方法？
【方法总结】利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字型，也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离．该例题还可参照课本P41页练习2设计测量方案．
探究新知
如图，测得BD=200m，DC=50m，EC=70m，求河宽AB．
A
D
B
E
C
解：
∵ AB∥CE,
∴△ABD∽△ECD.
答：河宽AB为280m.
巩固练习
∴ .
即 .
AB=280m.
解得
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳：
探究新知
已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？
分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内．
探究新知
考点 3
利用相似三角形测量有遮挡的物体
图（1）
仰角
水平线
视线
解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．
由题意可知，AB⊥l，CD⊥l,
∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK.
即 .
解得 EH＝8（m）.
由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
探究新知
图（2）
∴ ,
【讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是怎样的
【方法总结】一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．
探究新知
如图，AD⊥AB，EF ⊥ AB，BC ⊥ AB，DH ⊥ BC，DH交EF于G点，则AD＝_____＝_____，图中的相似三角形是 ______∽______．
EG
BH
△DGF
△DHC
巩固练习
C
返回
1．
[2024周口模拟]如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为
15 cm，到屏幕的距离为150 cm，且幻灯片上图形的高度为10 cm，则屏幕上图形的高度为(　　)
A．100 cm B．105 cm
C．110 cm D．115 cm
返回
C
2．
[2024鹤壁期末]如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为(　　)
A．32 m B．36 m
C．48 m D．56 m
3．
【点拨】
返回
4．
某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4 m的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57 m，D，E之间有一个花圃，距离无法测量，然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，
返回
EG＝2.4 m，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6 m，已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B，D，E，G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．(平面镜的大小厚度忽略不计)
返回
5．
如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC，光屏上显示的缩小的实像高CG为8 cm.若物体AH到焦点F1的距离HF1与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5：4，则物体的高AH为(　　)
A．10 cm B．8 cm
C．12 cm D．9 cm
【点拨】
【答案】A
易得四边形OBCG是矩形，∴OB＝CG＝8 cm.
∵AH∥OB，∴△AHF1∽△BOF1.
∴AH：BO＝HF1：OF1＝5：4，
即AH：8＝5：4.∴AH＝10 cm.
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6．
有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架宽为40 cm，则FI的长为________cm.
【点拨】
由题意知CI＝BI－BC＝40－20＝20(cm)，
EF＝20 cm，FG＝5 cm.
易知∠EFC＋∠CEF＝90°，∠EFC＋∠GFI＝90°，
∴∠CEF＝∠GFI.
又∵∠ECF＝∠FIG＝90°，∴△GIF∽△FCE.
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相似三角形的应用举例
利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
课堂小结
谢谢观看！