(共36张PPT)
28.1.1 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数
人教版数学九年级下册
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
学习目标
经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实.
理解锐角正弦的概念,掌握正弦的表示方法.
会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值,并且能利用正弦求直角三角形的边长.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念,能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性,掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程,体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动,敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性,体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性,理解原命题为真,其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
(一)导入新课(5 分钟)
展示一些简单的命题,如 “如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” ,“如果 a=b,那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问:能否交换这些命题的题设和结论,得到新的命题?新命题是否成立?从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
(二)讲授新课(25 分钟)
互逆命题
给出互逆命题的定义:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明:如原命题 “如果两个角是直角,那么这两个角相等”,它的逆命题是 “如果两个角相等,那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论,每个小组写出 3 - 5 个命题,并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题,需要通过推理证明;对于假命题,只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例,分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角,那么这两个角相等” 是真命题,而它的逆命题 “如果两个角相等,那么这两个角是直角” 是假命题,因为两个相等的角不一定是直角,还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性,并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明:如 “两直线平行,同位角相等” 和 “同位角相等,两直线平行” 是互逆定理。
强调:并不是所有的定理都有逆定理,只有当定理的逆命题为真命题时,才有逆定理。
(三)例题讲解(15 分钟)
例 1:写出下列命题的逆命题,并判断其真假。
(1)如果 a = 0,那么 ab = 0。
(2)全等三角形的对应角相等。
(3)等腰三角形的两个底角相等。
分析:
(1)逆命题为 “如果 ab = 0,那么 a = 0”,这是假命题,因为当 b = 0 时,ab = 0,a 不一定为 0。
(2)逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”,这是假命题,因为对应角相等的三角形不一定全等,可能是相似三角形。
(3)逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”,这是真命题,它是等腰三角形的判定定理。
例 2:证明命题 “如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析:引导学生画出图形,写出已知、求证,然后进行证明。
已知:在△ABC 中,∠B = ∠C。
求证:AB = AC。
证明:作∠BAC 的平分线 AD,交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC,所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中,
∠B = ∠C,
∠BAD = ∠CAD,
AD = AD(公共边),
所以△ABD≌△ACD(AAS)。
所以 AB = AC。
(四)课堂练习(10 分钟)
写出下列命题的逆命题,并判断真假。
(1)如果 x = 2,那么 x = 4。
(2)直角三角形的两个锐角互余。
(3)对顶角相等。
判断下列说法是否正确:
(1)每个命题都有逆命题。
(2)每个定理都有逆定理。
(3)真命题的逆命题一定是真命题。
(4)假命题的逆命题一定是假命题。
(五)课堂小结(5 分钟)
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念,以及如何判断命题的真假。
强调:原命题为真,逆命题不一定为真;原命题为假,逆命题也不一定为假。
(六)布置作业(5 分钟)
课本课后习题,要求学生认真书写解题过程,判断命题真假时要说明理由。
拓展作业:收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题,并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中,要注重引导学生积极思考、主动参与,通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误,要及时给予纠正和指导。在今后的教学中,可以进一步加强练习,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
鞋跟多高合适
美国人体工程研究学人员调查发现,
当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左
右时,人脚的感觉最舒适,假设某成年人前脚掌到
脚后跟长为15厘米,请问鞋跟在几厘米高度为最佳?
11
导入新知
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?
分析:这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB
根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,即
可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长的水管.
A
B
C
探究新知
知识点
正弦的定义
解:
B
A
C
30°
35m
【思考】在上面的问题中,如果使出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的水管?
A
B
C
50m
35m
B '
C '
AB'=2B'C' =2×50=100(m).
探究新知
在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于 .
在Rt△ABC中,∠C=90°,由于∠A=45°,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得:
因此 .
在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于 .
如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比 ,
你能得出什么结论?
A
B
C
探究新知
,
,
探究新知
归纳总结
综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于 ,是一个固定值;当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于 ,也是一个固定值.
【思考】一般地,当∠A 取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?
探究新知
A
B
C
A'
B'
C'
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么 与 有什么关系?你能解释一下吗?
探究新知
因为∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,
所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值.
探究新知
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作 sin A 即
例如,当∠A=30°时,我们有
当∠A=45°时,我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
归纳:
探究新知
∠A的对边
斜边
sin A =
注意
sinA是一个完整的符号,它表示∠A的正弦,记号里习惯省去角的符号“∠”;
sinA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与斜边的比;
sinA不表示“sin”乘“A”.
探究新知
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.
解:(1)在Rt△ABC中,
因此
(2)在Rt△ABC中,
因此
探究新知
考点 1
利用正弦的定义求有关角的正弦值
A
B
C
3
4
(1)
A
B
C
13
5
(2)
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比;求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.
,
,
,
,
.
.
判断对错:
A
10m
6m
B
C
(1) ( )
(2) ( )
(3)sin A=0.6m ( )
(4)sin B=0.8 ( )
√
√
×
×
sin A是一个比值(注意比的顺序),无单位;
2)如图②, ( )
×
巩固练习
A
B
C
1) 如图①
图①
图②
在 Rt△ABC中,锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍,sinA 的值 ( )
A. 扩大100倍 B. 缩小
C. 不变 D. 不能确定
C
巩固练习
如图,在平面直角坐标系内有一点 P (3,4),连接 OP,求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解:如图,设点 A (3,0),连接 PA .
A (3,0)
在Rt△APO中,由勾股定理得
因此
α
探究新知
考点 2
在平面直角坐标系内求锐角的正弦值
探究新知
方法点拨
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值,一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线,构造直角三角形,再结合勾股定理求解.
A
B
x
y
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
3
4
5
巩固练习
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, ,BC = 3,求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示:已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度,可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理,求出 AC 的长度,进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
考点 3
探究新知
利用正弦求直角三角形的边长
∴ AB = 3BC =3×3=9.
∴
∴
∴
探究新知
A
B
C
解:∵在 Rt△ABC 中,
∴ .
在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,sinA = k,
sinB = h,AB = c,则
BC = ck,
AC = ch.
在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,sinA = k,
sinB = h,BC=a,则
归纳:
探究新知
A
B
C
,
.
8
巩固练习
如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,
, BC的长是 .
A
C
B
解:设BC=7x,则AB=25x,在 Rt△ABC中,由勾股定理得
即 24x = 24cm,解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm,AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
探究新知
考点 4
利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度
在 △ABC 中,∠C=90°,AC=24cm, ,求这个三角形的周长.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, , AC=12.
求sinB的值.
5
13
解:在Rt △ABC中,
设AB=13x,BC=5x,
由勾股定理得:(5x)2+122=(13x)2.
A
B
C
12
巩固练习
解得x=1.所以AB=13,BC=5.
因此
C
返回
1.
如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD与CE相交于点O,则下列比值中不等于sin A的是( )
返回
A
2.
如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点均在格点上,则sin∠BAC的值是( )
asinθ km
返回
3.
2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.如图,当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL为________.
4.
返回
5.
如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,求sin∠ECM的值.
返回
6.
如图,⊙O是正方形ABCD的内切圆,与各边分别相切于点E,F,G,H,则∠1的正弦值等于( )
【点拨】
【答案】A
返回
7.
返回
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
课堂小结
谢谢观看!