(共39张PPT)
29.1.1投影
第二十九章 投影与视图
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
能结合具体例子说明什么是投影，什么是投影线和投影面等概念.
理解平行投影和中心投影的概念、特征、区别与联系.
能通过例子来解释说明投影的分类,会利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入
日晷是我国古代测定时间的仪器，看看它是怎样工作的呢？
太阳起了什么作用？
导入新知
导入
如图，物体在日光或灯光的照射下，在地面、墙壁等处会出现什么现象？
影子的出现
导入新知
皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术。
导入新知
你知道物体与影子有什么关系吗？
知识点 1
投影的定义
探究新知
探究新知
影子既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关.
投影所在的平面叫做投影面.
照射光线叫做投影线.
投影面
投
影
投影线
一般地，用光线照射物体，在某个平面
（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.
探究新知
探究新知
归纳总结
(1)形成投影需要满足三个条件：①要有光源；②要有一个呈现投影的平面，即投影面；③要有物体存在，且物体处于光源和投影面之间.
(2)因为光线沿直线传播，所以可以由投影与物体确定光线的方向.
(3)一般情况下，光线移动时，物体的影子的大小、方向也随着变化.
把下列物体与它们的投影用线连接起来：
巩固练习
观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？
探究新知
知识点 2
平行投影的概念
太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成平行光线.
由平行光线形成的投影叫做平行投影．
归纳：
探究新知
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子 (简称日影) 就是平行投影．日影的方向可以反映当地时间.
我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．
探究新知
某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m.
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？
A
（甲）
（乙）
D'
B
E'
D
E
探究新知
考点1 1
利用平行投影解答实际问题
(2) 当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
（甲）
（乙）
A
D
D'
B
E
E'
探究新知
(3) 在(2)的情况下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别
为1.24m和1m，那么你能求出甲木杆的高度吗
（甲）
（乙）
A
D
D'
B
E
E'
解：∵△ADD'∽△BEE'，∴ AD : BE =AD′ : BE′，
即AD : 1.5 =1.24 : 1，解得AD =1.86.
故甲木杆的高度为1.86m.
探究新知
巩固
楼前有两根木杆，其中一根在太阳光下的影子如图，请画出太阳光下另一根木杆的影子.
巩固练习
皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术．
你知道皮影戏中的影像是如何形成的吗？
探究新知
知识点 3
中心投影的概念
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.像皮影戏与手影戏就是中心投影.
探究新知
例如,物体在灯泡发出的光照射下形成影子就
是中心投影．
由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影．
归纳：
探究新知
灯
三角尺
投影
中心投影 ——投射线交于一点的投影.
探究新知
平行投影和中心投影有什么区别和联系呢
【思考】
探究新知
平行投影与中心投影的区别与联系
区别 光线 联系
平行投影
中心投影 物体与投影面平行时的投影
探究新知
平行的投射线
全等
从一点发出的投射线
放大(位似变换)
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子.
(即都是投影)
请你分别指出下面的例子属于什么投影？
平行投影
中心投影
平行投影
中心投影
巩固练习
确定图中路灯灯泡所在的位置.
O
怎样确定一个点？
探究新知
考点 1 1
利用中心投影解答问题
解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，
再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条
直线，两线相交于点O，点O就是灯泡的位置.
下图是两棵小树在同一时刻的影子.请你在图中画出形成树影的光线.
它们是太阳的光线还是灯光的光线
它们是灯光的光线！
巩固练习
1．
[2024晋中介休模拟]在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( )
【点拨】
【答案】D
两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A，B选项错误；同一时刻的阳光下，树高与影子长度成正比，所以C选项错误，D选项正确．故选D.
返回
2．
[2024宁德期末]在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在的位置是( )
A．A的左侧
B．A，B之间
C．C的右侧
D．B，C之间
【点拨】
【答案】B
如图所示．
返回
10
3．
[2024成都简阳期末]如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2 m，若树根到墙的距离BC等于8 m，则树高AB等于________m.
【点拨】
如图，作DH⊥AB于H，则易得DH＝BC＝8 m，BH＝CD＝2 m，根据题意得∠ADH＝45°，
所以△ADH为等腰直角三角形．所以AH＝DH＝8 m.
所以AB＝AH＋BH＝10 m.
返回
4．
返回
【解】构图如下，
∴点O为此时路灯光源的位置．
与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树．晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子(如图所示)，树影是路灯灯光形成的．请你确定此时路灯光源的位置．
5．
[2024邯郸一模]小明家的客厅有一张高0.8 m的圆桌，直径BC为1 m，在距地面2 m的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为(2，0)，则点E的坐标是( )
【点拨】
【答案】A
返回
6．
返回
8 m
如图，在A时测得某树的影长为4 m，B时又测得该树的影长为16 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．
平行投影与中心投影
投影的概念
平行投影与中心投影
投影作图
课堂小结
谢谢观看！(共24张PPT)
29.1.2投影
第二十九章 投影与视图
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
掌握线段、平面图形的正投影规律 .
以正方体为例，掌握其与投影面的两种不同位置下形成的正投影的形状和大小.
掌握几种基本几何体的正投影，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入
下图表示一块三角尺在光线照射下的投影，其中图1、图2、图3的投影线有什么区别？
图1
图2
图3
中心投影
平行投影
中心投影
平行投影
导入新知
( 1 )
( 2 )
( 3 )
图中表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面．像图
（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；
图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；
图（2）中，投影线斜着照射投影面；
探究新知
知识点 1
正投影的概念
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
【想一想】每一种投影有何特点？
探究新知
投影线集中于一点
投影线互相平行，且斜着照射投影面
投影线垂直于投影面
如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.
α
A
B
A1
B1
A
B
A
B
A3(B3)
B2
A2
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
(1) 铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).
探究新知
(1)当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，
线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1；
(2) 当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2， 线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2;
(3) 当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个 _____ ．
通过观察，我们可以发现：
=
>
点A3(B3)
α
A
B
A1
B1
A
B
A
B
A3(B3)
B2
A2
探究新知
如图，把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD) 放在
三个不同位置：
(1) 纸板平行于投影面；(2) 纸板倾斜于投影面；
(3) 纸板垂直于投影面．
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'( B')
D'(C')
β
探究新知
(3) 当纸板P垂直于投影面β时，P的正投影成为
_______________．
通过观察、测量可知：
(1) 当纸板P平行于投影面β时，P的正投影与P的
_________________；
(2) 当纸板P倾斜于投影面β时，P的正投影与P的
___________________；
形状、大小一样
形状、大小发生变化
一条线段
探究新知
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'( B')
D'(C')
β
探究新知
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
归纳总结
画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．(1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面P；(2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面P，并且其对角线AE垂直于投影面P．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
P
B
C
D
E
F
G
F′
A′
D′
C′
B′
G′
P
A
H
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
考点 1
作出已知几何体的正投影
探究新知
投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的正投影：
巩固练习
(1)
(2)
D
返回
1．
如图，将两个圆盘、一个茶叶筒、一个篮球和一个蒙古包模型摆放在一起，当投影线从前方照射到后方时，其正投影是( )
2．
[2024大同一模]如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝a，∠ABB1＝110°，则A1B1的长为( )
【点拨】
【答案】A
如图，过点B作BH⊥AA1于点H，则四边形HBB1A1是矩形，∴BH＝A1B1，∠HBB1＝90°.
∵∠ABB1＝110°，
∴∠ABH＝110°－90°＝20°.
在Rt△ABH中，BH＝AB·cos 20°＝a·cos 20°，
∴A1B1＝BH＝a·cos 20°.
返回
相同
返回
3．
把一块梯形硬纸板Q放在三个不同的位置．
(1)当纸板Q平行于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小________(填“相同”或“不完全相同”)．
(2)当纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小___________(填“相同”或“不完全相同”)．
(3)当纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影为________．
不完全相同
一条线段
4．
如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，圆锥的轴截面平行投影面，则该圆锥的侧面积是________．
【点拨】
返回
5．
返回
一个圆柱的轴截面(过圆柱两底面圆心的截面)平行于投影面，圆柱的正投影是一个边长为10 cm的正方形，试求圆柱的体积和表面积．
6．
如图所示是正方体ABCD－A1B1C1D1在平面P上的正投影，其中平面ABCD平行于平面P，下列说法中正确的个数是( )
①正方体中平面ABCD在平面P上的正投影是正方形A′B′C′D′；
②正方体中平面ABB1A1在平面P上的正投影是线段A′B′；
③正方体中平面BCC1B1在平面P上的正投影是面A′B′C′D′；
④正方体中平面DCC1D1在平面P上的
正投影是线段C′D′.
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】
【答案】C
①正方体中平面ABCD在平面P上的正投影是正方形A′B′C′D′，故正确；②正方体中平面ABB1A1在平面P上的正投影是线段A′B′，故正确；③正方体中平面BCC1B1在平面P上的正投影是线段B′C′，故错误；④正方体中平面DCC1D1在平面P上的正投影是线段C′D′，故正确．故选C.
返回
正投影
正投影的概念及性质
几何体的正投影
平面图形的正投影
课堂小结
谢谢观看！
