(共39张PPT)
29.1.1投影
第二十九章 投影与视图
人教版数学九年级下册
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
学习目标
能结合具体例子说明什么是投影,什么是投影线和投影面等概念.
理解平行投影和中心投影的概念、特征、区别与联系.
能通过例子来解释说明投影的分类,会利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念,能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性,掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程,体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动,敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性,体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性,理解原命题为真,其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
(一)导入新课(5 分钟)
展示一些简单的命题,如 “如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” ,“如果 a=b,那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问:能否交换这些命题的题设和结论,得到新的命题?新命题是否成立?从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
(二)讲授新课(25 分钟)
互逆命题
给出互逆命题的定义:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明:如原命题 “如果两个角是直角,那么这两个角相等”,它的逆命题是 “如果两个角相等,那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论,每个小组写出 3 - 5 个命题,并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题,需要通过推理证明;对于假命题,只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例,分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角,那么这两个角相等” 是真命题,而它的逆命题 “如果两个角相等,那么这两个角是直角” 是假命题,因为两个相等的角不一定是直角,还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性,并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明:如 “两直线平行,同位角相等” 和 “同位角相等,两直线平行” 是互逆定理。
强调:并不是所有的定理都有逆定理,只有当定理的逆命题为真命题时,才有逆定理。
(三)例题讲解(15 分钟)
例 1:写出下列命题的逆命题,并判断其真假。
(1)如果 a = 0,那么 ab = 0。
(2)全等三角形的对应角相等。
(3)等腰三角形的两个底角相等。
分析:
(1)逆命题为 “如果 ab = 0,那么 a = 0”,这是假命题,因为当 b = 0 时,ab = 0,a 不一定为 0。
(2)逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”,这是假命题,因为对应角相等的三角形不一定全等,可能是相似三角形。
(3)逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”,这是真命题,它是等腰三角形的判定定理。
例 2:证明命题 “如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析:引导学生画出图形,写出已知、求证,然后进行证明。
已知:在△ABC 中,∠B = ∠C。
求证:AB = AC。
证明:作∠BAC 的平分线 AD,交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC,所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中,
∠B = ∠C,
∠BAD = ∠CAD,
AD = AD(公共边),
所以△ABD≌△ACD(AAS)。
所以 AB = AC。
(四)课堂练习(10 分钟)
写出下列命题的逆命题,并判断真假。
(1)如果 x = 2,那么 x = 4。
(2)直角三角形的两个锐角互余。
(3)对顶角相等。
判断下列说法是否正确:
(1)每个命题都有逆命题。
(2)每个定理都有逆定理。
(3)真命题的逆命题一定是真命题。
(4)假命题的逆命题一定是假命题。
(五)课堂小结(5 分钟)
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念,以及如何判断命题的真假。
强调:原命题为真,逆命题不一定为真;原命题为假,逆命题也不一定为假。
(六)布置作业(5 分钟)
课本课后习题,要求学生认真书写解题过程,判断命题真假时要说明理由。
拓展作业:收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题,并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中,要注重引导学生积极思考、主动参与,通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误,要及时给予纠正和指导。在今后的教学中,可以进一步加强练习,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入
日晷是我国古代测定时间的仪器,看看它是怎样工作的呢?
太阳起了什么作用?
导入新知
导入
如图,物体在日光或灯光的照射下,在地面、墙壁等处会出现什么现象?
影子的出现
导入新知
皮影戏又名“灯影子”,是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术。
导入新知
你知道物体与影子有什么关系吗?
知识点 1
投影的定义
探究新知
探究新知
影子既与物体的形状有关,也与光线的照射方式有关.
投影所在的平面叫做投影面.
照射光线叫做投影线.
投影面
投
影
投影线
一般地,用光线照射物体,在某个平面
(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.
探究新知
探究新知
归纳总结
(1)形成投影需要满足三个条件:①要有光源;②要有一个呈现投影的平面,即投影面;③要有物体存在,且物体处于光源和投影面之间.
(2)因为光线沿直线传播,所以可以由投影与物体确定光线的方向.
(3)一般情况下,光线移动时,物体的影子的大小、方向也随着变化.
把下列物体与它们的投影用线连接起来:
巩固练习
观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征?
探究新知
知识点 2
平行投影的概念
太阳离我们非常遥远,太阳光线可以看成平行光线.
由平行光线形成的投影叫做平行投影.
归纳:
探究新知
例如,物体在太阳光的照射下形成的影子 (简称日影) 就是平行投影.日影的方向可以反映当地时间.
我国古代的计时器日晷,就是根据日影来观测时间的.
探究新知
某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m.
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示,你能画出此时乙木杆的影子吗?
A
(甲)
(乙)
D'
B
E'
D
E
探究新知
考点1 1
利用平行投影解答实际问题
(2) 当乙木杆移动到什么位置时,其影子刚好不落在墙上?
(甲)
(乙)
A
D
D'
B
E
E'
探究新知
(3) 在(2)的情况下,如果测得甲、乙木杆的影子长分别
为1.24m和1m,那么你能求出甲木杆的高度吗
(甲)
(乙)
A
D
D'
B
E
E'
解:∵△ADD'∽△BEE',∴ AD : BE =AD′ : BE′,
即AD : 1.5 =1.24 : 1,解得AD =1.86.
故甲木杆的高度为1.86m.
探究新知
巩固
楼前有两根木杆,其中一根在太阳光下的影子如图,请画出太阳光下另一根木杆的影子.
巩固练习
皮影戏是利用灯光的照射,把影子的影态反映在银幕(投影面)上的表演艺术.
你知道皮影戏中的影像是如何形成的吗?
探究新知
知识点 3
中心投影的概念
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的,像这样的光线所形成的投影称为中心投影.像皮影戏与手影戏就是中心投影.
探究新知
例如,物体在灯泡发出的光照射下形成影子就
是中心投影.
由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影.
归纳:
探究新知
灯
三角尺
投影
中心投影 ——投射线交于一点的投影.
探究新知
平行投影和中心投影有什么区别和联系呢
【思考】
探究新知
平行投影与中心投影的区别与联系
区别 光线 联系
平行投影
中心投影 物体与投影面平行时的投影
探究新知
平行的投射线
全等
从一点发出的投射线
放大(位似变换)
都是物体在光线的照射下,在某个平面内形成的影子.
(即都是投影)
请你分别指出下面的例子属于什么投影?
平行投影
中心投影
平行投影
中心投影
巩固练习
确定图中路灯灯泡所在的位置.
O
怎样确定一个点?
探究新知
考点 1 1
利用中心投影解答问题
解:过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线,
再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条
直线,两线相交于点O,点O就是灯泡的位置.
下图是两棵小树在同一时刻的影子.请你在图中画出形成树影的光线.
它们是太阳的光线还是灯光的光线
它们是灯光的光线!
巩固练习
1.
[2024晋中介休模拟]在下列四幅图形中,能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( )
【点拨】
【答案】D
两棵小树的影子的方向相反,不可能为同一时刻阳光下影子,所以A,B选项错误;同一时刻的阳光下,树高与影子长度成正比,所以C选项错误,D选项正确.故选D.
返回
2.
[2024宁德期末]在同一直线上直立着三根高度相同的木杆,它们在同一路灯下的影子如图所示.若光源与三根木杆在同一平面上,则光源所在的位置是( )
A.A的左侧
B.A,B之间
C.C的右侧
D.B,C之间
【点拨】
【答案】B
如图所示.
返回
10
3.
[2024成都简阳期末]如图,当太阳光与地面上的树影成45°角时,树影投射在墙上的影高CD等于2 m,若树根到墙的距离BC等于8 m,则树高AB等于________m.
【点拨】
如图,作DH⊥AB于H,则易得DH=BC=8 m,BH=CD=2 m,根据题意得∠ADH=45°,
所以△ADH为等腰直角三角形.所以AH=DH=8 m.
所以AB=AH+BH=10 m.
返回
4.
返回
【解】构图如下,
∴点O为此时路灯光源的位置.
与一盏路灯相对,有一玻璃幕墙,幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树.晚上,幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子(如图所示),树影是路灯灯光形成的.请你确定此时路灯光源的位置.
5.
[2024邯郸一模]小明家的客厅有一张高0.8 m的圆桌,直径BC为1 m,在距地面2 m的A处有一盏灯,圆桌的影子最外侧两点分别为D,E,依据题意建立如图所示的平面直角坐标系,其中点D的坐标为(2,0),则点E的坐标是( )
【点拨】
【答案】A
返回
6.
返回
8 m
如图,在A时测得某树的影长为4 m,B时又测得该树的影长为16 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为________.
平行投影与中心投影
投影的概念
平行投影与中心投影
投影作图
课堂小结
谢谢观看!(共24张PPT)
29.1.2投影
第二十九章 投影与视图
人教版数学九年级下册
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
学习目标
掌握线段、平面图形的正投影规律 .
以正方体为例,掌握其与投影面的两种不同位置下形成的正投影的形状和大小.
掌握几种基本几何体的正投影,能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影,并进行相关计算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念,能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性,掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程,体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动,敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性,体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性,理解原命题为真,其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
(一)导入新课(5 分钟)
展示一些简单的命题,如 “如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” ,“如果 a=b,那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问:能否交换这些命题的题设和结论,得到新的命题?新命题是否成立?从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
(二)讲授新课(25 分钟)
互逆命题
给出互逆命题的定义:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明:如原命题 “如果两个角是直角,那么这两个角相等”,它的逆命题是 “如果两个角相等,那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论,每个小组写出 3 - 5 个命题,并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题,需要通过推理证明;对于假命题,只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例,分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角,那么这两个角相等” 是真命题,而它的逆命题 “如果两个角相等,那么这两个角是直角” 是假命题,因为两个相等的角不一定是直角,还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性,并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明:如 “两直线平行,同位角相等” 和 “同位角相等,两直线平行” 是互逆定理。
强调:并不是所有的定理都有逆定理,只有当定理的逆命题为真命题时,才有逆定理。
(三)例题讲解(15 分钟)
例 1:写出下列命题的逆命题,并判断其真假。
(1)如果 a = 0,那么 ab = 0。
(2)全等三角形的对应角相等。
(3)等腰三角形的两个底角相等。
分析:
(1)逆命题为 “如果 ab = 0,那么 a = 0”,这是假命题,因为当 b = 0 时,ab = 0,a 不一定为 0。
(2)逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”,这是假命题,因为对应角相等的三角形不一定全等,可能是相似三角形。
(3)逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”,这是真命题,它是等腰三角形的判定定理。
例 2:证明命题 “如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析:引导学生画出图形,写出已知、求证,然后进行证明。
已知:在△ABC 中,∠B = ∠C。
求证:AB = AC。
证明:作∠BAC 的平分线 AD,交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC,所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中,
∠B = ∠C,
∠BAD = ∠CAD,
AD = AD(公共边),
所以△ABD≌△ACD(AAS)。
所以 AB = AC。
(四)课堂练习(10 分钟)
写出下列命题的逆命题,并判断真假。
(1)如果 x = 2,那么 x = 4。
(2)直角三角形的两个锐角互余。
(3)对顶角相等。
判断下列说法是否正确:
(1)每个命题都有逆命题。
(2)每个定理都有逆定理。
(3)真命题的逆命题一定是真命题。
(4)假命题的逆命题一定是假命题。
(五)课堂小结(5 分钟)
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念,以及如何判断命题的真假。
强调:原命题为真,逆命题不一定为真;原命题为假,逆命题也不一定为假。
(六)布置作业(5 分钟)
课本课后习题,要求学生认真书写解题过程,判断命题真假时要说明理由。
拓展作业:收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题,并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中,要注重引导学生积极思考、主动参与,通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误,要及时给予纠正和指导。在今后的教学中,可以进一步加强练习,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入
下图表示一块三角尺在光线照射下的投影,其中图1、图2、图3的投影线有什么区别?
图1
图2
图3
中心投影
平行投影
中心投影
平行投影
导入新知
( 1 )
( 2 )
( 3 )
图中表示一块三角尺在光线照射下形成投影,其中图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别?图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?
图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面),我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图
(3)这样,投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
图(1)中的投影线集中于一点,形成中心投影;
图(2)(3)中,投影线互相平行,形成平行投影;
图(2)中,投影线斜着照射投影面;
探究新知
知识点 1
正投影的概念
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
【想一想】每一种投影有何特点?
探究新知
投影线集中于一点
投影线互相平行,且斜着照射投影面
投影线垂直于投影面
如图,把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.
α
A
B
A1
B1
A
B
A
B
A3(B3)
B2
A2
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?
(1) 铁丝平行于投影面;
(2)铁丝倾斜于投影面;
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).
探究新知
(1)当线段AB平行于投影面α时,它的正投影是线段A1B1,
线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1;
(2) 当线段AB倾斜于投影面α时,它的正投影是线段A2B2, 线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2;
(3) 当线段AB垂直于投影面α时,它的正投影是一个 _____ .
通过观察,我们可以发现:
=
>
点A3(B3)
α
A
B
A1
B1
A
B
A
B
A3(B3)
B2
A2
探究新知
如图,把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD) 放在
三个不同位置:
(1) 纸板平行于投影面;(2) 纸板倾斜于投影面;
(3) 纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状?
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'( B')
D'(C')
β
探究新知
(3) 当纸板P垂直于投影面β时,P的正投影成为
_______________.
通过观察、测量可知:
(1) 当纸板P平行于投影面β时,P的正投影与P的
_________________;
(2) 当纸板P倾斜于投影面β时,P的正投影与P的
___________________;
形状、大小一样
形状、大小发生变化
一条线段
探究新知
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'( B')
D'(C')
β
探究新知
当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
归纳总结
画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.(1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面P;(2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P,底面ADEF垂直于投影面P,并且其对角线AE垂直于投影面P.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
P
B
C
D
E
F
G
F′
A′
D′
C′
B′
G′
P
A
H
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
考点 1
作出已知几何体的正投影
探究新知
投影线的方向如箭头所示,画出图中圆柱体的正投影:
巩固练习
(1)
(2)
D
返回
1.
如图,将两个圆盘、一个茶叶筒、一个篮球和一个蒙古包模型摆放在一起,当投影线从前方照射到后方时,其正投影是( )
2.
[2024大同一模]如图,A1B1是线段AB在投影面上的正投影,已知AB=a,∠ABB1=110°,则A1B1的长为( )
【点拨】
【答案】A
如图,过点B作BH⊥AA1于点H,则四边形HBB1A1是矩形,∴BH=A1B1,∠HBB1=90°.
∵∠ABB1=110°,
∴∠ABH=110°-90°=20°.
在Rt△ABH中,BH=AB·cos 20°=a·cos 20°,
∴A1B1=BH=a·cos 20°.
返回
相同
返回
3.
把一块梯形硬纸板Q放在三个不同的位置.
(1)当纸板Q平行于投影面P时,Q的正投影与Q的形状、大小________(填“相同”或“不完全相同”).
(2)当纸板Q倾斜于投影面P时,Q的正投影与Q的形状、大小___________(填“相同”或“不完全相同”).
(3)当纸板Q垂直于投影面P时,Q的正投影为________.
不完全相同
一条线段
4.
如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,圆锥的轴截面平行投影面,则该圆锥的侧面积是________.
【点拨】
返回
5.
返回
一个圆柱的轴截面(过圆柱两底面圆心的截面)平行于投影面,圆柱的正投影是一个边长为10 cm的正方形,试求圆柱的体积和表面积.
6.
如图所示是正方体ABCD-A1B1C1D1在平面P上的正投影,其中平面ABCD平行于平面P,下列说法中正确的个数是( )
①正方体中平面ABCD在平面P上的正投影是正方形A′B′C′D′;
②正方体中平面ABB1A1在平面P上的正投影是线段A′B′;
③正方体中平面BCC1B1在平面P上的正投影是面A′B′C′D′;
④正方体中平面DCC1D1在平面P上的
正投影是线段C′D′.
A.1 B.2 C.3 D.4
【点拨】
【答案】C
①正方体中平面ABCD在平面P上的正投影是正方形A′B′C′D′,故正确;②正方体中平面ABB1A1在平面P上的正投影是线段A′B′,故正确;③正方体中平面BCC1B1在平面P上的正投影是线段B′C′,故错误;④正方体中平面DCC1D1在平面P上的正投影是线段C′D′,故正确.故选C.
返回
正投影
正投影的概念及性质
几何体的正投影
平面图形的正投影
课堂小结
谢谢观看!