5.4 二次函数与一元二次方程 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
5.4 二次函数与一元二次方程
第5章　二次函数
苏科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
二次函数与一元二次方程的关系
知1－讲
1
1. 二次函数图像与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的关系
一般地，从二次函数y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)的图像可知：如果抛物线y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)的一个根.
知1－讲
2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别
b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0
一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不相等的实数根x= 有两个相等的 实数根 x1=x2=－ 没有实 数根
知1－讲
续表
b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0
二次函数y= ax2＋bx＋c (a≠0)的图像 a>0 b<0
b>0 对称轴位于y轴左侧
知1－讲
续表
b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0
二次函数y= ax2＋bx＋c(a≠0)的图像 a<0 b>0
b<0 对称轴位于y轴左侧 抛物线与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点
知1－练
例 1
[期末·北京] 已知关于x的二次函数y=mx2－4x＋2的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是 ___________．
解题秘方：紧扣抛物线与x轴的交点情况求出m的取值范围．
解：∵ y=mx2－4x＋2 是二次函数，∴ m ≠ 0.
∵抛物线与x轴有交点，∴ b2－4ac ≥ 0，
即16－8m ≥ 0，解得m ≤ 2. ∴ m ≤ 2 且m ≠ 0．
m ≤ 2且m ≠ 0
知2－讲
知识点
二次函数图像与一元二次方程的近似解的关系
2
二次函数y=ax2＋bx＋c的图像与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解，因此可以借助二次函数的图像求一元二次方程的解.
(1)作出二次函数y=ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的个数就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解的个数.
知2－讲
(2)观察图像，函数图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解，当函数图像与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解.
知2－练
[模拟·上海] 根据下列表格中y=ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是___________．
例2
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.06
6.18知2－练
解题秘方：紧扣二次函数的函数值y由负变为正时，自变量x的取值即可．
解：由表格中的数据看出函数值－0.01 和0.02更接近于0，根据表格可知，当y=－0.01 时，x=6.18， 当y=0.02 时，x=6.19，故所求一个解x的范围是6.18知3－讲
知识点
二次函数y=ax2＋bx＋c的图像特征与a、b、c的符号关系
3
字母或式子的符号 图像的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
－ b=0 对称轴为y轴
ab>0(a、b同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(a、b异号) 对称轴在y轴右侧
知3－讲
续表
字母或式子的符号 图像的特征
c c=0 图像过原点
c>0 图像与y轴正半轴相交
c<0 图像与y轴负半轴相交
b2－4ac b2－4ac=0 图像与x轴有唯一一个交点
b2－4ac>0 图像与x轴有两个交点
b2－4ac<0 图像与x轴没有交点
知3－讲
收藏夹
对于二次函数y=ax2＋bx＋c：
当x=1时，y=a＋b＋c，
当x=－1时，y=a－b＋c，
知3－练
在平面直角坐标系中，如图5.4-2是二次函数y=ax2＋
bx＋c(a ≠ 0)的图像的一部分，给出下列命题：① a＋b＋c=0；② b>2a； ③ 方程ax2＋bx＋c=0 的两根分别为－3和1； ④ b2－4ac>0.
其中正确的命题有(　　)
A. 1 个　　　　B. 2 个　　　　
C. 3 个　　　　D. 4 个
例 3
返回
B
1.
二次函数y＝－x2＋4x－4的图像与x轴公共点的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
A
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2.
若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点(－1，0)，(2，0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　　)
A．x1＝－1，x2＝2
B．x1＝－2，x2＝1
C．x1＝1，x2＝2
D．x1＝－1，x2＝－2
9
返回
3.
[2023郴州]已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有
一个交点，则m＝______．
－3(答案不唯一)
返回
4.
[2023泰州]二次函数y＝x2＋3x＋n的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是__________________．(填一个值即可)
x1＝－3，x2＝1
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5.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是______________．
k＞－1且k≠0
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6.
[2024南京鼓楼区校级模拟]已知二次函数y＝kx2－6x－9的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为______________．
7.
一次函数y＝x＋1的图像与二次函数y＝ax2＋bx－3的图像交于点A(4，5)，B(－1，0)．
(1)确定二次函数的表达式；
(2)请在如图所示的网格中画出二次函数y＝ax2＋bx－3的图像；
解：如图所示．
(3)根据函数的图像直接写出方程x＋1＝ax2＋bx－3的解．
解：x1＝－1，x2＝4.
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证明：∵(2m)2－4×(－1)×(4－m2)＝
4m2＋16－4m2＝16＞0，
∴该二次函数的图像与x轴总有两个公共点．
8.
[2024南京玄武区二模]已知二次函数y＝－x2＋2mx＋4－m2(m为常数)．
(1)求证：该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2)设该函数图像的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
返回
返回
A
9.
[2024南京栖霞区开学测试]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m＞3 B．m＜3
C．m≥3 D．m≤3
返回
A
10.
[2024泸州]已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图像经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　)
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B
11.
[2024扬州广陵区一模]小明研究二次函数y＝(x－m)2＋m－1(m为常数)的性质时，得出如下结论：①这个函数图像的顶点始终在直线y＝x－1上；②存在两个m的值，使得函数图像的顶点和图像与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图像上，若x1＜x2，x1＋x2＞2m，则y1＜y2；④当－1＜x＜3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为m≥3.其中错误结论的序号是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
二次函数与一元二次方程
二次函数
与一元二
次方程之
间的关系
二次函数图像与x轴的公共点个数
有两个公共点
有一个公共点
没有公共点
有两个不相
等的实数根
有两个相等
的实数根
没有实数根
一元二次方程根的个数
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