5.5 用二次函数解决问题 课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
5.5 用二次函数解决问题
第5章　二次函数
苏科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
用二次函数解实际问题
知1－讲
1
1. 常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图像和性质去解决问题.
知1－讲
2. 一般步骤
(1)审：仔细审题，理清题意；
(2)找：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析；
(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；
知1－讲
(4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解实际问题；
(5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论.
知1－练
例 1
[中考·连云港]某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份. 该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元．
1 264
知1－练
解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出(40＋2a)份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出(80－2b)份．
由题意，得40＋2a＋80－2b＝40＋80，解得a＝b．
设这两种快餐一天的总利润是W元．
∴ W＝(12－a)(40＋2a)＋(8＋a)(80－2a)＝－4a2＋ 48a＋1 120＝－4(a－6)2＋1 264．
∵ －4<0，∴当a＝6 时，W取得最大值1 264，
即这两种快餐一天的总利润最多是1 264 元．
知1－练
方法点拨
求实际问题中最大(小)值的一般策略：
1. 理解实际问题的题意与数量关系，从条件(或图像)中获取各个变量的信息，求出函数表达式；
2. 讨论最大(小)值时可借助顶点式y＝a(x＋h)2＋k，然后利用二次函数的性质确定最大(小)值；
3. 在求函数的最大(小)值时，要注意实际问题中自变量的取值范围.
知1－练
[模拟·南京鼓楼区] 为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面(粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3 米，BC＝
1 米)和总长为14 米的篱笆围建一
个“日”字形的小型农场DBEF
(细线表示篱笆，小型农场中间
GH也是用篱笆隔开)，
例 2
知1－练
点D 可能在线段AB上(如图5.5-1 ①)，也可能在线段BA的延长线上(如图5.5-1 ②)，点E在线段BC的延长线上. 设DF的长为x米.
知1－练
(1)若点D在线段AB上.
①请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12 平方米，求DF的长.
解题秘方：①紧扣篱笆总长、墙面长度，结合图形列出代数式；②利用矩形的面积公式列方程求解；
知1－练
解：①当点D在线段AB上时，
∵篱笆的总长为14 米，DF＝x 米，
∴ EF＝14－2x－(x－1)＝(15－3x)米．
②根据题意，得x(15－3x)＝12.
解得x1＝4，x2＝1.(不合题意，舍去)
答：DF的长为4 米．
由AB＝3米，可知EF≤3米，则15－3x≤3，可知x≥4．
此时点D不在线段
AB上，应舍去.
知1－练
(2)若点D在线段BA的延长线上，当DF为多少时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
解题秘方：求出小型农场DBEF的面积关于DF的长的函数关系式，然后紧扣x的取值范围，根据二次函数的性质求出最大面积．
知1－练
解：设小型农场DBEF的面积为S平方米.
当点D在线段BA的延长线上时，由(1)可知0所以S＝ (14＋3＋1－3x)x＝－x2＋9x＝－(x－3)2＋．
∵ a＝－<0，3<4，∴当x＝3 时，S有最大值，S最大值＝.
答：当DF为3米时，小型农场DBEF的面积最大，最大面积为平方米.
知2－讲
知识点
建立恰当的直角坐标系解答抛物线型问题
2
生活中常见的拱桥洞、涵洞、隧道等都呈抛物线形状，解决这些问题往往构建二次函数模型，借助二次函数的性质进行计算.
知2－讲
1. 解决抛物线型问题的一般步骤
(1)根据题目给出的数据建立恰当的直角坐标系；
(2)根据建立的坐标系，结合条件确定图像上点的坐标；
(3)根据点的坐标特点设出函数表达式，再运用待定系数法确定函数表达式；
(4)根据二次函数的性质解决问题.
知2－讲
2. 在解答这类问题时，建立恰当的坐标系非常重要，基本原则是尽量选取抛物线的顶点为原点，尽量选取抛物线的对称轴为y轴.
知2－讲
特别解读
一般地，通过建立坐标系，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，或y＝a2＋(a≠0)，确定顶点坐标为 ．当x＝－时，抛物线有最高(低)点，函数有最大(小)值为．
知2－练
校园景观设计：学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线形的小桥，桥孔的跨径为8 m，拱高为6 m .如图5.5-2.
例 3
知2－练
(1)把该桥孔看作一个二次函数的图像，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；
解题秘方：以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，过原点的铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设二次函数的表达式为y＝ax2，代入点的坐标解方程得到结果；
知2－练
解：(建立平面直角坐标系的方法不唯一)建立如图5.5-3所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点坐标为(0，0)．
设这个二次函数的表达式为y＝ax2．
由题意可知，抛物线过点(4，－6)，
所以－6＝16a．解得a＝－．
∴这个二次函数的表达式为y＝－x2.
知2－练
(2)施工时，工人师傅要先制作如图5.5-3 所示的桥孔模型，图中每根立柱之间的距离相等，请你计算左侧第二根立柱(AB)的高.
解题秘方：由“左侧第二根立柱”可求得A点的横坐标，再将其代入二次函数的表达式，进而得到结果.
知2－练
解：由题意可知，A 点的横坐标为－2．
把x＝－2 代入y＝－x2，得y＝－．
∵ 6－＝，
∴左侧第二根立柱(AB)的高为m．
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A
1.
[2024张家港校级期末]用长为6 m的铝合金型材料做
一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗框的的长、宽应分别做成(　　)
A．1.5 m，1 m
B．1 m，0.5 m
C．2 m，1 m
D．2 m，0.5 m
350
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2.
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天________元．
3.
如图是一架菱形风筝的骨架图，骨架图由4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80 cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝x cm，菱形ABCD的面积为y cm2.
(1)求y关于x的函数表达式；
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4.
[2024济宁]某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图像如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数表达式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元/件，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
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5.
[2024盐城盐都区期末]如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为________．
【点拨】
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6.
某公司的化工产品成本为30元/kg.销售部门规定：一次性销售1 000 kg以内时，以50元/kg的价格销售；一次性销售不低于1 000 kg时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1 750 kg时，均以某一固定价格销售．一次性
销售利润y(元)与一次性销售量
x(kg)的函数关系如图所示．
(1)当一次性销售800 kg时利润为多少元？
解：根据题意，当x＝800时，
y＝800×(50－30)＝800×20＝16 000，
∴当一次性销售800 kg时，利润为16 000元．
(2)求一次性销售量在1 000 kg～1 750 kg之间时的最大利润；
解：根据题意，得一次性销售量在1 000 kg～1 750 kg之间时，
每千克的销售利润为50－30－0.01(x－1 000)＝(－0.01x＋30)元，
∴y＝x(－0.01x＋30)＝－0.01x2＋30x＝
－0.01(x2－3 000x)＝－0.01(x－1 500)2＋22 500.
∵－0.01＜0，1 000≤x≤1 750，
∴当x＝1 500时，y有最大值，最大值为22 500，
∴一次性销售量在1 000 kg～1 750 kg之间时的最大利润
为22 500元．
(3)当一次性销售____________________kg时，利润为 22 100元．
1 300，1 700或1 768
用二次函数解决问题
实际
问题
转化
数学
模型
二次
函数
增减性
最值
分类
图形面积问题
利润问题
抛物线型问题
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