广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2025高二下·白云月考）已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】归纳推理；数列的通项公式
【解析】【解答】解：根据题意，数列的前几项为：…，
即，，，，
故数列的一个通项公式可以为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，分析数列前项的规律，从而用表示出该数列可能的一个通项公式.
2．（2025高二下·白云月考）已知函数，则的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：定义域为，，
故答案为：B.
【分析】根据复合函数的求导法则以及余弦的二倍角公式求解即可.
3．（2025高二下·白云月考）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数，求导得，
因为，因此，
解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和导数的运算法则，从而解一元二次方程得出的值.
4．（2025高二下·白云月考）已知等比数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】等比数列 满足 ，且 ，
则 ，
解得 ，
，
故答案为： ．
【分析】先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出 的值
5．（2025高二下·白云月考）已知数列为等差数列，其前n项和为，，若，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，
所以，
故，
则．
故答案为：C．
【分析】利用等差数列前项和公式得出的值，再利用等差数列的性质得出的值.
6．（2025高二下·白云月考）在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列 ，已知 ，且样本容量为300，则对应小长方形面积最大的一组的频数为（ ）
A．20 B．60 C．80 D．160
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；频率分布直方图
【解析】【解答】设等差数列的公比为 ，则 ，所以 ，
所以这4个小长方形的面积由小到大对应的频数依次为 ， ， ， ，
所以 ，解得： ，
所以对应小长方形面积最大的一组的频数为 ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合等比数列通项公式，从而求出等比数列的公比，再利用频率分布直方图中各小组矩形的面积为各小组的频率，得出这4个小长方形的面积由小到大对应的频数依次为 ， ， ， ，再利用等比数列前n项和公式，从而求出等比数列的首项，进而求出对应小长方形面积最大的一组的频数。
7．（2025高二下·白云月考）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为、分别是函数在、处的切线斜率，
由图可知，
又因为，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义比较大小，从而找出排序正确的选项.
8．（2025高二下·白云月考）若数列满足，（，且），记，则（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
则，
所以数列是以4为周期的数列，
因为，所以，，，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】通过数列递推式得出数列是以4为周期的数列，再结合数列的周期性得出的值.
9．（2025高二下·白云月考）已知函数，则能令的区间有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
求导得，
由，解得或，
所以能令的区间有.
故答案为：AC.
【分析】先求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式得出能令的区间.
10．（2025高二下·白云月考）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．若，，则
C．若数列的前n项和，则
D．若，则数列是递增数列
【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由数列是等比数列，设公比为，
则是常数，故A正确；
由，，则，即，
所以，故B错误；
若数列的前n项和，
则，，
，
成等比数列，，
即，解得，故C错误；
若，则，数列是递增数列；
若，则，数列是递增数列，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用等比数列的定义可判断选项A；利用等比数列的通项公式可判断选项B；利用等比数列的前n项和公式可判断选项C；由求出，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2025高二下·白云月考）已知公差不为的等差数列的前项和为，，，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则，其前项和为，，，
则当时，；当时，，
只需，可得，
所以，，则，
所以，.
故答案为：BC.
【分析】设等差数列的公差为，分析可知，从而求出的取值范围，进而求出的取值范围.
12．（2025高二下·白云月考）已知等比数列的前项和为，且，则 .
【答案】21
【知识点】等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：因为为等比数列，其前项和为，
所以为等比数列，故为等比数列，
所以，
则.
故答案为：21.
【分析】根据已知条件和等比数列片段和的性质以及等比中项公式，从而得出的值.
13．（2025高二下·白云月考）在数列中，，，则 .
【答案】.
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，
，
因此，，，，
上述四个等式累加得，
所以，.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合累加法得出数列第五项的值.
14．（2025高二下·白云月考）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则 ； .
【答案】55；
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：根据三角形数可知，，
则，，…，，
累加得，
所以，经检验也满足上式，
故，则；
根据正方形数可知，
当时，，
则
.
故答案为：；.
【分析】依题意可得，利用累加法求出，即可求出；根据正方形数可知，从而可得当时，，再利用裂项相消法得出的值.
15．（2025高二下·白云月考）已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？
【答案】（1）解：因为数列为等差数列，
则，
所以通项公式为.
（2）解：由（1）知，数列的前项和，
由二次函数的性质，当时，取最大值，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和已知条件，从而表示为的方程组，解方程组得出的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由等差数列前项和公式表示出，再由二次函数的图象求最值的方法，从而得出数列的前项和的最大值，并求出此时n的值.
（1）因为数列为等差数列，则，所以通项公式为
（2）由（1）知，数列的前项和，由二次函数的性质，当时，取最大值，.
16．（2025高二下·白云月考）已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.
【答案】（1）解：设公差为，则，
即
解得或 ，
所以或.
（2）解：因为数列为递增数列，
，，，
所以
，
所以.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式以及等差数列前n项和公式，从而得出等差数列的首项和公差的值，再由等差数列通项公式得出数列的通项公式.
(2)利用数列的单调性和等差数列前n项和公式得出数列的通项公式，再结合并项求和法得出数列的前40项的和.
（1）设公差为，则，即
解得或 ，所以或；
（2）因为数列为递增数列，，，，
所以
；
所以.
17．（2025高二下·白云月考）已知曲线，设点坐标为，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程．
（3）若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标
【答案】（1）解：由，
可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：设切点为，则，
所以切线方程为，即，
因为切线过点，所以，即，
则，所以，
即，所以，
解得或，
则切线方程为或，
所以过点的切线方程为或.
（3）解：设，则，，
所以曲线在点处的切线为，
又因为曲线在点处的切线与曲线相切，
由，可得，
则，解得或，
则或，
所以或.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式得出切线方程，再将点代入切线方程中，从而求出的值，进而求出曲线过点的切线方程.
（3）设，则根据导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式表示出曲线在点处的切线，再联立切线方程与抛物线方程，从而根据求出的值，进而求出点的坐标.
（1）由，可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，则，
所以切线方程为，即，
又切线过点，所以，即，
即，即，
即，即，解得或，
则切线方程为或，
所以过点的切线方程为或.
（3）设，则，，
所以曲线在点处的切线为，
又曲线在点处的切线与曲线相切，
由，可得，
则，解得或，
则或，
所以或.
18．（2025高二下·白云月考）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式.
（2）若，令，求数列的前项和
【答案】（1）解：由，可得，
两式相减可得，即，
因为数列是等比数列，所以，
因为，所以，
所以.
（2）解：因为，
所以①，
①，得②，
①②，得
，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用与的关系式求出公比，令得到，从而求出，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）所求结果得到，再利用错位相减法得出数列的前项和.
（1）由可得，
两式相减可得，即，
因为数列是等比数列，所以，
因为，所以解得，所以；
（2）因为，
所以①，
①，得②，
①②，得
，
所以.
19．（2025高二下·白云月考）已知数列满足，，，.
（1）求证：是等差数列；
（2）记，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明：由题意得，当时，，
即，化简整理得，
解得或，
，，
构造数列，令，则，
则，
，
两式相减，可得，
化简整理，得，
，
，
，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得：，
则，
，
，
……
，
各式相加，可得：，
，
数列的前n项和为：
.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）先将代入题中递推公式计算出的值，再构造数列，令，代入递推公式计算出的表达式，进一步推导判断出数列是以3为首项，2为公差的等差数列，从而证明出数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）先根据(1)的结果计算出数列的通项公式，利用累加法得出数列的通项公式，从而计算出数列的通项公式，再利用裂项相消法得出数列的前n项和.
（1）证明：由题意得，当时，，
即，
化简整理，得，
解得或，
，
，
构造数列：令，则，
则，
，
两式相减，可得，
化简整理，得，
，
，
，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）可得：，
则，
，
，
……
，
各式相加，可得：，
，
数列的前n项和为：
.
1 / 1广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2025高二下·白云月考）已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·白云月考）已知函数，则的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高二下·白云月考）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2025高二下·白云月考）已知等比数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
5．（2025高二下·白云月考）已知数列为等差数列，其前n项和为，，若，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
6．（2025高二下·白云月考）在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列 ，已知 ，且样本容量为300，则对应小长方形面积最大的一组的频数为（ ）
A．20 B．60 C．80 D．160
7．（2025高二下·白云月考）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高二下·白云月考）若数列满足，（，且），记，则（ ）
A．-1 B． C． D．
9．（2025高二下·白云月考）已知函数，则能令的区间有（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高二下·白云月考）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．若，，则
C．若数列的前n项和，则
D．若，则数列是递增数列
11．（2025高二下·白云月考）已知公差不为的等差数列的前项和为，，，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高二下·白云月考）已知等比数列的前项和为，且，则 .
13．（2025高二下·白云月考）在数列中，，，则 .
14．（2025高二下·白云月考）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则 ； .
15．（2025高二下·白云月考）已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？
16．（2025高二下·白云月考）已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.
17．（2025高二下·白云月考）已知曲线，设点坐标为，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程．
（3）若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标
18．（2025高二下·白云月考）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式.
（2）若，令，求数列的前项和
19．（2025高二下·白云月考）已知数列满足，，，.
（1）求证：是等差数列；
（2）记，求数列的前n项和.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】归纳推理；数列的通项公式
【解析】【解答】解：根据题意，数列的前几项为：…，
即，，，，
故数列的一个通项公式可以为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，分析数列前项的规律，从而用表示出该数列可能的一个通项公式.
2．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：定义域为，，
故答案为：B.
【分析】根据复合函数的求导法则以及余弦的二倍角公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数，求导得，
因为，因此，
解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和导数的运算法则，从而解一元二次方程得出的值.
4．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】等比数列 满足 ，且 ，
则 ，
解得 ，
，
故答案为： ．
【分析】先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出 的值
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，
所以，
故，
则．
故答案为：C．
【分析】利用等差数列前项和公式得出的值，再利用等差数列的性质得出的值.
6．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；频率分布直方图
【解析】【解答】设等差数列的公比为 ，则 ，所以 ，
所以这4个小长方形的面积由小到大对应的频数依次为 ， ， ， ，
所以 ，解得： ，
所以对应小长方形面积最大的一组的频数为 ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合等比数列通项公式，从而求出等比数列的公比，再利用频率分布直方图中各小组矩形的面积为各小组的频率，得出这4个小长方形的面积由小到大对应的频数依次为 ， ， ， ，再利用等比数列前n项和公式，从而求出等比数列的首项，进而求出对应小长方形面积最大的一组的频数。
7．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为、分别是函数在、处的切线斜率，
由图可知，
又因为，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义比较大小，从而找出排序正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
则，
所以数列是以4为周期的数列，
因为，所以，，，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】通过数列递推式得出数列是以4为周期的数列，再结合数列的周期性得出的值.
9．【答案】A,C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
求导得，
由，解得或，
所以能令的区间有.
故答案为：AC.
【分析】先求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式得出能令的区间.
10．【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由数列是等比数列，设公比为，
则是常数，故A正确；
由，，则，即，
所以，故B错误；
若数列的前n项和，
则，，
，
成等比数列，，
即，解得，故C错误；
若，则，数列是递增数列；
若，则，数列是递增数列，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用等比数列的定义可判断选项A；利用等比数列的通项公式可判断选项B；利用等比数列的前n项和公式可判断选项C；由求出，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则，其前项和为，，，
则当时，；当时，，
只需，可得，
所以，，则，
所以，.
故答案为：BC.
【分析】设等差数列的公差为，分析可知，从而求出的取值范围，进而求出的取值范围.
12．【答案】21
【知识点】等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：因为为等比数列，其前项和为，
所以为等比数列，故为等比数列，
所以，
则.
故答案为：21.
【分析】根据已知条件和等比数列片段和的性质以及等比中项公式，从而得出的值.
13．【答案】.
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，
，
因此，，，，
上述四个等式累加得，
所以，.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合累加法得出数列第五项的值.
14．【答案】55；
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：根据三角形数可知，，
则，，…，，
累加得，
所以，经检验也满足上式，
故，则；
根据正方形数可知，
当时，，
则
.
故答案为：；.
【分析】依题意可得，利用累加法求出，即可求出；根据正方形数可知，从而可得当时，，再利用裂项相消法得出的值.
15．【答案】（1）解：因为数列为等差数列，
则，
所以通项公式为.
（2）解：由（1）知，数列的前项和，
由二次函数的性质，当时，取最大值，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和已知条件，从而表示为的方程组，解方程组得出的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由等差数列前项和公式表示出，再由二次函数的图象求最值的方法，从而得出数列的前项和的最大值，并求出此时n的值.
（1）因为数列为等差数列，则，所以通项公式为
（2）由（1）知，数列的前项和，由二次函数的性质，当时，取最大值，.
16．【答案】（1）解：设公差为，则，
即
解得或 ，
所以或.
（2）解：因为数列为递增数列，
，，，
所以
，
所以.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式以及等差数列前n项和公式，从而得出等差数列的首项和公差的值，再由等差数列通项公式得出数列的通项公式.
(2)利用数列的单调性和等差数列前n项和公式得出数列的通项公式，再结合并项求和法得出数列的前40项的和.
（1）设公差为，则，即
解得或 ，所以或；
（2）因为数列为递增数列，，，，
所以
；
所以.
17．【答案】（1）解：由，
可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：设切点为，则，
所以切线方程为，即，
因为切线过点，所以，即，
则，所以，
即，所以，
解得或，
则切线方程为或，
所以过点的切线方程为或.
（3）解：设，则，，
所以曲线在点处的切线为，
又因为曲线在点处的切线与曲线相切，
由，可得，
则，解得或，
则或，
所以或.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式得出切线方程，再将点代入切线方程中，从而求出的值，进而求出曲线过点的切线方程.
（3）设，则根据导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式表示出曲线在点处的切线，再联立切线方程与抛物线方程，从而根据求出的值，进而求出点的坐标.
（1）由，可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，则，
所以切线方程为，即，
又切线过点，所以，即，
即，即，
即，即，解得或，
则切线方程为或，
所以过点的切线方程为或.
（3）设，则，，
所以曲线在点处的切线为，
又曲线在点处的切线与曲线相切，
由，可得，
则，解得或，
则或，
所以或.
18．【答案】（1）解：由，可得，
两式相减可得，即，
因为数列是等比数列，所以，
因为，所以，
所以.
（2）解：因为，
所以①，
①，得②，
①②，得
，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用与的关系式求出公比，令得到，从而求出，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）所求结果得到，再利用错位相减法得出数列的前项和.
（1）由可得，
两式相减可得，即，
因为数列是等比数列，所以，
因为，所以解得，所以；
（2）因为，
所以①，
①，得②，
①②，得
，
所以.
19．【答案】（1）证明：由题意得，当时，，
即，化简整理得，
解得或，
，，
构造数列，令，则，
则，
，
两式相减，可得，
化简整理，得，
，
，
，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得：，
则，
，
，
……
，
各式相加，可得：，
，
数列的前n项和为：
.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）先将代入题中递推公式计算出的值，再构造数列，令，代入递推公式计算出的表达式，进一步推导判断出数列是以3为首项，2为公差的等差数列，从而证明出数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）先根据(1)的结果计算出数列的通项公式，利用累加法得出数列的通项公式，从而计算出数列的通项公式，再利用裂项相消法得出数列的前n项和.
（1）证明：由题意得，当时，，
即，
化简整理，得，
解得或，
，
，
构造数列：令，则，
则，
，
两式相减，可得，
化简整理，得，
，
，
，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）可得：，
则，
，
，
……
，
各式相加，可得：，
，
数列的前n项和为：
.
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