7.2 正弦、余弦 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
7.2 正弦、余弦
第7章 锐角三角函数
苏科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
在黑板上画出一个直角三角形 ABC，其中∠C = 90°。设∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c。
正弦函数定义
引导学生观察∠A 的对边 a 与斜边 c 的比值，给出正弦函数的定义：在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA = a/c 。通过多个不同边长的直角三角形示例，让学生计算∠A 的正弦值，加深对定义的理解。
余弦函数定义
类比正弦函数，讲解余弦函数：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA = b/c 。同样通过实例计算强化概念。
正切函数定义
介绍正切函数：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA = a/b 。引导学生分析正切函数与正弦、余弦函数的区别与联系。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 3，b = 4，求 sinA、cosA、tanA 的值。
分析：首先根据勾股定理求出斜边 c 的值，然后根据正弦、余弦、正切函数的定义分别计算。
解：由勾股定理得 c = √(a + b ) = √(3 + 4 ) = 5
sinA = a/c = 3/5
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
正弦、余弦的概念
知1－讲
1
1. 概念 如图7.2-1，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦(sine)，记作 sin A，即sin A＝＝.我们把∠A的邻边b
与斜边c的比叫做∠A的余弦(cosine)，
记作cos A，即cos A＝＝.
知1－讲
2. 表示法
(1)在sin A，cos A中，表示正弦、余弦的符号一定是小写，不能是大写.
(2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的正弦、余弦习惯上省略角的符号，如sin A，cos α等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的正弦、余弦不能省略角的符号，如 sin ∠ABC，cos ∠1等.
知1－讲
(3)“sin A”“cos A”“tan A”是整体符号，不能理解为“sin·A”“cos·A”“tan·A”.
(4)sin2A表示sin A·sin A＝(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A＝(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A表示tan A·tan A＝(tan A)2，不能写成tan A2.
知1－练
例 1
[期末· 宿迁宿豫区] 如图7.2-2， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，则sin A·cos A的值为________.
知1－练
解题秘方：首先利用勾股定理得出AC的长，进而利用正弦、余弦的概念得出答案.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，
由勾股定理，得AC＝＝＝ .
∴ sin A·cos A＝·＝×＝.
知2－讲
知识点
锐角三角函数
2
1. 概念 在Rt△ABC中，、和的值都随∠A的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯一确定，∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
知2－讲
2. 锐角三角函数值的变化规律
(1)因为Rt△ABC的三边长都是正数，所以锐角的三角函数值也都是正数；又因为直角三角形的斜边长大于任意一条直角边长，所以tan A>0，0(2)①锐角的正弦值和正切值都随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小．②锐角的余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大.
知2－讲
特别提醒
sin x、cos x和tan x都是以x为自变量的函数，一旦x的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化 .
知2－练
如图7.2-3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，如果
2AB＝3BC，求∠B的三个三角函数值.
例 2
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解.
知2－练
解：如图7.2-3，过点A作AD⊥BC于点D.
∵ AB＝AC，∴ BD＝DC. ∵ 2AB＝3BC，∴＝.
设AB＝3k(k>0)，则BC＝2k. ∴ BD＝CD＝k.
∴ AD＝＝＝＝2k.
∴ sin B＝＝＝，
cos B＝＝＝，tan B＝＝＝.
知2－练
比较大小：
(1)cos 35°______cos 45°，tan 50°______tan 60°；
(2)若sin α=0.327 6，sin β=0.327 4，则α______β．
例 3
解题秘方：紧扣锐角三角函数值的变化规律即可求解.
>
<
>
知2－练
解：(1)∵ 35°<45°，∴根据余弦值随角度的增大而减小，可知cos 35°>cos 45°；
∵ 50°<60°，∴根据正切值随角度的增大而增大，可知tan 50°(2)∵ 0.327 6>0.327 4，
∴根据正弦值随角度的增大而增大，可知α>β．
知2－练
解题通法
比较锐角的三角函数值大小的一般策略：
1. 正弦(或正切)之间比较大小，角度增大，正弦值(或正切值)也增大，反之也成立；
2. 余弦之间比较大小，角度增大，余弦值反而减小，反之也成立．
知4－讲
知识点
锐角三角函数之间的关系
4
如图7.2-4，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
1. 同一锐角的三角函数之间的关系
(1)sin2A＋cos2A＝1.
(2)＝tan A.
知4－讲
2. 互余两角的三角函数之间的关系
sin A＝cos(90°－∠ A).
cos A＝sin(90°－∠ A).
tan A·tan(90°－∠ A)＝1.
知4－讲
特别解读
1. sin2A＋cos2A＝2＋2＝＝＝1.
2. ＝＝·＝，∴ ＝tan A.
知4－练
[模拟·扬州] 已知α 为锐角且sin α＝，求cos α、 tan α的值.
例 5
解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解.
解：∵ sin2α＋cos2α＝1，sin α＝，
∴ cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
又∵α为锐角，∴ 0∴ tan α＝＝＝.
知4－练
知4－练
特别警示
利用同角三角函数间的关系求三角函数值时，需注意锐角三角函数值的范围， 即00， 对于不在其范围内的函数值应舍去.
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B
1.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝b，那么AB等于(　　)
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2.
A
[2024苏州吴江区校级月考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin A＋cos A的值(　　)
A．大于1
B．小于1
C．等于1
D．不能确定
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3.
D
[2024常州钟楼区校级期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是(　　)
A．sin A＝sin B
B．cos A＝cos B
C．tan A＝tan B
D．sin A＝cos B
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4.
返回
5.
[2024江阴校级月考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝3，则cos A＝________．
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6.
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(4，0)，则sin∠ABO的值为________．
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7.
8.
(2)求∠CDA的余弦值．
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正弦、余弦
锐角
三角
函数
计算
用定义法求三角函数值
用计算器求三角函数值
三角函数值的变化规律
定义
正弦
余弦
正切
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