(共16张PPT)
7.6.2 与旋转有关的问题
第7章 锐角三角函数
苏科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
在黑板上画出一个直角三角形 ABC，其中∠C = 90°。设∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c。
正弦函数定义
引导学生观察∠A 的对边 a 与斜边 c 的比值，给出正弦函数的定义：在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA = a/c 。通过多个不同边长的直角三角形示例，让学生计算∠A 的正弦值，加深对定义的理解。
余弦函数定义
类比正弦函数，讲解余弦函数：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA = b/c 。同样通过实例计算强化概念。
正切函数定义
介绍正切函数：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA = a/b 。引导学生分析正切函数与正弦、余弦函数的区别与联系。
（三）例题讲解（15 分钟）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知2－讲
知识点
有关摩天轮旋转高度的应用
2
随着摩天轮的旋转，游客相对于地面的高度也发生着变化.
如图7.6-3，点C距离地面的高度CH＝
DA＝OA－OD＝OB＋AB－OD＝OB＋AB－
OC cos ∠COD＝R＋AB－R cos ∠COD.
知2－讲
特别提醒
有关摩天轮高度的计算，都与圆的有关计算有关，熟练掌握圆的有关知识是解题的关键.
知2－练
如图7.6-4 是一个匀速旋转(指每分钟旋转的弧长或圆心角相同)的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80 米，最低点C离地面的高度为6 米，旋转一周所用的时间为
6 分钟，小明从点C乘坐摩天轮(身高
忽略不计)，2 分钟后，小明距离地
面的高度是多少米？
例 2
知2－练
解题秘方：紧扣“构造法”构造直角三角形求解.
解：如图7.6-4，设小明从点C乘坐摩天轮，2 分钟后到达点E，延长CO与⊙O交于点F，过点E作EG⊥OF于点G.
知2－练
根据摩天轮匀速旋转一周所用的时间为6分钟，小明从点C乘坐摩天轮到点E用了2分钟，可知∠COE＝120°，
∴∠GOE＝60°.
在Rt△EGO中，OG＝OE·cos∠GOE＝×80×cos 60°＝20(米). ∴ DG＝CD＋CO＋OG＝6＋×80＋20＝66(米).
答：小明距离地面的高度是66 米.
知2－练
特别提醒
类似的问题很多，如荡秋千问题、跷跷板问题、大风车问题等.
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A
1.
[2024泰州姜堰区校级月考]如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝a，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规能画出的圆的半径AB的长度为( )
A．2asin θ B．asin 2θ
C．2atan θ D．atan 2θ
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2.
30.5
如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座国内最大的水上摩天轮之一“苏州之眼”，其直径为120 m，旋转1周用时24 min.小明从摩天轮的底部(与地面相距0.5 m)出发开始观光.4 min后小明离地面的高度是________m.
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3.
64
如图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm.
4.
四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B，C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，
从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度)．已知AD＝BC，DH＝208 cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度是升高还是降低，升高(或降低)了多少？(参考数据：sin 54°≈0.8，cos 54°≈0.6)
解：如图①，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，
交HA的延长线于点K.
∵BC⊥MN，AH⊥MN，∴BC∥AH.
∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD.
∴∠ADC＝∠GAE＝60°.
∵点C离地面的高度为288 cm，DH＝208 cm，
∴DK＝288－208＝80(cm)．
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7.6.3 与仰角和俯角有关的问题
第7章 锐角三角函数
苏科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
在黑板上画出一个直角三角形 ABC，其中∠C = 90°。设∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c。
正弦函数定义
引导学生观察∠A 的对边 a 与斜边 c 的比值，给出正弦函数的定义：在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA = a/c 。通过多个不同边长的直角三角形示例，让学生计算∠A 的正弦值，加深对定义的理解。
余弦函数定义
类比正弦函数，讲解余弦函数：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA = b/c 。同样通过实例计算强化概念。
正切函数定义
介绍正切函数：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA = a/b 。引导学生分析正切函数与正弦、余弦函数的区别与联系。
（三）例题讲解（15 分钟）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知3－讲
知识点
有关仰角和俯角的应用
3
1. 仰角和俯角的定义
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.
知3－讲
2. 示意图(如图7.6-5)
知3－讲
3. 基本图形及关系式
图形 关系式 图形 关系式
AC＝BC·tan α， AG＝ AC＋BE BC＝DC－BD＝
AD·(tan α－tan β )
知3－讲
续表
图形 关系式 图形 关系式
AB＝DE＝ AE·tan β ， CD＝CE＋DE＝AE· (tan α＋tan β ) BD＝BC－DC＝
AC·，
AG＝AC＋CG＝AC＋BE
知3－讲
特别提醒
1. 仰角和俯角是视线相对于水平线而言的， 不同位置的仰角和俯角是不同的， 可巧记为“上仰下俯”.
2. 实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中解决问题，注意确定水平线.
知3－练
[模拟·淮安] 如图7.6-6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，
然后在教学楼上的B处，观测到旗杆底
端D的俯角是30°，已知AB高4 米.
例 3
解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.
知3－练
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；
解：由在教学楼上的B处观测旗杆底端D的俯角是
30°，易知∠ADB＝30°.
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°， AB＝4 米，∴ AD＝＝＝4(米).
答：教学楼与旗杆的水平距离AD是4米.
知3－练
(2)求旗杆CD的高度.
解：在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4米，
∴ CD＝AD·tan 60°＝4×＝12(米).
答：旗杆CD的高度是12 米.
知3－练
方法点拨
解决有关仰角与俯角的问题，关键是根据仰角、俯角的定义画出水平线，找准视角，建立数学模型后构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形.
知4－讲
知识点
方向角的应用
4
1. 方向角的定义 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.
特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~90°.
知4－讲
2. 示意图 如图7.6-7，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、
北偏西30°，其中南偏东45°习惯上
又叫做东南方向，北偏东45°习惯上
又叫做东北方向，北偏西45°习惯上
又叫做西北方向，南偏西45°习惯上
又叫做西南方向.
知4－讲
特别提醒
1. 因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角， 所以方向角通常都写成“ 北偏……” “ 南偏……”的形式.
2. 解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
3. 观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.
知4－练
[中考·南京] 如图7.6-8，在港口A处的正东方向有两个相距6 km 的观测点B，C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD.
(参考数据：sin 26°≈0.44，cos 26°≈
0.90，tan 26°≈0.49，sin 37°≈0.60，
cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
例 4
解：如图7.6-8，过点D作DH⊥AC于点H.
在Rt△DCH中，∠DHC＝90°，∠C＝37°，
tan C＝，
∴ CH＝＝.
在Rt△DBH中，BH＝＝.
知4－练
∵ BC＝CH－BH，
∴－＝6，解得DH ≈ 18 km.
易知∠ADH＝26°.
在Rt△DAH中，AD＝＝≈ 20 km.
答：轮船航行的距离AD约为20 km．
知4－练
返回
B
1.
某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物(如图)CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为( )
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2.
17
[2024盐城]如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为________ m．(精确到
1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，
cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
3.
如图，在电视背景墙上，银幕投影区域的下沿B距离地面的高度BC为72 cm，投影区域的上沿A距离地面228 cm.小明为了获得最大的投影效果，将投影仪调整到影像达到银幕投影区域的上下沿．经测量，此时投影仪镜头D到上沿A的仰角为17.7°，到下沿B的俯角为11.3°，求此时镜头D到地面的距离．(参考数据：
tan 11.3°≈0.20，tan 17.7°≈0.32)
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥CM于点F.
∵AC⊥CM，∴四边形DECF是矩形．∴DF＝CE.
∵AC＝228 cm，BC＝72 cm，
∴AB＝AC－BC＝228－72＝156(cm)．
设AE＝x cm，则BE＝(156－x)cm.
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4.
[2023南京]如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B.无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52′；无人机垂直上升5 m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26′.AB＝10 m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．
(参考数据：tan 36°52′≈0.75，
tan 63°26′≈2.00)
解：如图，延长DC交AB于点E.
由题意得DE⊥AB，CD＝5 m．设BE＝x m.
∵AB＝10 m，∴AE＝AB＋BE＝(10＋x)m.
在Rt△ACE中，∠CAE＝36°52′，
∴CE＝AE·tan 36°52′≈0.75(10＋x)m.
在Rt△BDE中，∠DBE＝63°26′，∴DE＝BE·tan 63°26′≈2x m.
∵DC＋CE＝DE，∴5＋0.75(10＋x)≈2x，解得x≈10.
∴CE≈15 m．∴无人机在C处时离地面的高度约为15 m.
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5.
[2023泰州]如图，堤坝AB长为10 m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(sin 26°35′≈0.45，cos 26°35′≈0.89，tan 26°35′≈0.50，
小明身高忽略不计，结果精确到1 m)
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用锐角三角函数解决问题
解直角三
角形的应
用类型
坡角和坡度问题
旋转高度问题
仰角和俯角问题
方向角问题
一般步骤
一般测量问题
谢谢观看！
