2024-2025学年四川省蓉城联盟高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省蓉城联盟高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，，且，则的值为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.下列函数中，以为最小正周期且是偶函数的为( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，则( )
A. B.
C. D.
4.的三个顶点的坐标分别为，，，则( )
A. 角为直角 B. 角为锐角 C. 角为钝角 D. 角为钝角
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表：
用函数模型近似刻画与之间的对应关系，则该同学在第秒时距地面的高度约为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，函数的图象的一个对称中心为
B. 当时，函数的图象的一条对称轴方程为
C. 若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为
D. 将函数的图象向右平移个单位所得图象关于轴对称且在区间上为单调函数，则的值为
11.下列命题为假命题的是( )
A. 若函数的定义域为，且满足，当时，，则
B. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的取值范围为
C. 在中，若，则角的最大值为
D. 在中，若，，直线与交于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，，且，则实数 ．
13.已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距海里，则岛与岛的距离为 海里．
14.函数的值域为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，若，求实数的值
已知向量，满足，求与的夹角的大小．
16.本小题分
已知函数
求函数的单调递增区间
在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．
17.本小题分
已知矩形．
如图，若，，点为线段的中点，记，，请用，表示，，并求向量与的夹角的余弦值
如图，矩形是半径为，圆心角为的扇形的内接矩形，点，在半径上，设，求当矩形的面积最大时的值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且C.
若，求角
若，，求边的中线的长
若角的内角平分线的长为，求的最小值．
19.本小题分
已知函数，
当时，求函数的最小值
当时，求函数在区间上的值域
当时，若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由题意，得，
因为，
所以，解得；
因为，
则，则，
则，即，
，
则，，
又，，
则与的夹角为．
16.解：已知函数，
则，
令，，
则，，
即函数的单调递增区间为，；
因为在中，角、、所对的边分别为，，，且，
则，
即，
又，
则，
即，
又，
，
则，所以．
．
17.解：，
．
由题意可得，，
所以，
，
，
所以，
所以向量与的夹角的余弦为．
在中，，，，
因为，所以，
则．
所以矩形的面积
．
因为，
所以当，即时，矩形的面积的最大值为．
18.解：因为，
由正弦定理，得，即，
则，
又，则．
因为，
由正弦定理，得，
即，
即，
因为，则，即，
又，则．
则；
，
因为，由正弦定理得，则，
又，所以，
设中点为，
因为，
则，
所以
因为是角的内角平分线，，所以，
根据三角形面积公式，
即，
则，即，
则，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
19.解：当时，，
，
故当时，函数有最小值．
当时，，
当时，，令，则，
故函数在区间上的值域为．
当时，，
，
则不等式等价于
，
即，
因为，所以不等式等价于，
令，，
令，则，
所以实数的取值范围是．
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