2024-2025学年山东省部分学校高二下学期阶段性诊断测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省部分学校高二下学期阶段性诊断测试
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.某运动物体的位移单位：米关于时间单位：秒的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
2.现有甲部门的员工人，乙部门的员工人，丙部门的员工人，从这三个部门的员工中任选人参加接待客户的活动，不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
3.某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩~N(,),~N(,),其中<,>,在同一直角坐标系中,,密度曲线的两个交点的横坐标为,,且<,则（ )
A. P(<)< P(<) B. P(<)>P(<)
C. P(<)>P(<) D. P(<)< P(<)
4.若二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.函数的极小值点为( )
A. B. C. D.
8.包括甲、乙、丙在内的人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.过点向曲线作切线，切线方程可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被除所得的余数为，则( )
A. B. C. D.
11.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝：乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是( )
A. 若哪吒每次使用两件法宝，对阵次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种
B. 若哪吒与敌人对阵次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种
C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种
D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知函数在处可导，若，则 ．
13.若随机变量X~B(10,0.3),则E(2X-3)= ,D(3X-2)= .
14.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，移动次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数的图象在点处的切线方程为．
求，
求在上的值域．
16.某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养现准备将一批书籍全部分配给甲、乙、丙、丁个不同的班级．
若这批书是本相同的书，每个班至少本，共有多少种不同的分配方法
若这批书是本不同的书，每个班至少本，共有多少种不同的分配方法
17.数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了名中国大模型用户，统计他们的年龄都在内，按照，，，，分组，得到如下的频率分布直方图．
估计中国大模型用户年龄的第百分位数．
为了进一步了解用户在工作中使用大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取名用户进行座谈，为了感谢这名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户个礼盒，其中有个礼盒中设置了幸运大礼．
求至少有名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率 记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列．
18.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响．
求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率．
两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率．
甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次试问为何值时，甲射击次数的期望最大
19.已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数．
若函数是上的凸函数，求实数的取值范围．
已知函数，
若是上的凹函数，求实数的取值范围
若在内有两个不同的零点，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.B
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.3 ； 18.9
14.
15.解：因为，所以．
因为，，
所以，；
由知，则．
令，得或．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，，，所以在上的值域为．
16.解：相同元素分配问题用“隔板法”，
只需从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可，所以共有种不同的分配方法．
将本不同的书分成份，每个班至少本，可分为，两种情况．
若情况为，则有种不同的分配方法
若情况为，则有种不同的分配方法．
故共有种不同的分配方法．
17.解：大模型的用户年龄在，，，，内的频率分别
为，，，，，所以大模型用户年龄的第百分位数在内．
设大模型用户年龄的第百分位数为，
则，解得，
所以估计中国大模型用户年龄的第百分位数为．
由分层抽样可知，抽取的名用户中年龄在内和内的分别有人和人．
记至少有名年龄在内的用户获得幸运大礼为事件，则，
所以至少有名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为．
的所有可能取值为，，，，
，，
，所以的分布列为
18.解：因为甲、乙两人射击的命中率分别为和，
所以甲、乙两人射击一次，甲、乙不能命中目标的概率分别为和，
则两人各射击一次，都没有命中目标的概率为，
所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为
设“两人各射击一次，只有一个人命中目标”为事件，
“两人各射击一次，甲命中目标”为事件，
所以，
，
则所求概率为
设甲射击的次数为，则的分布列为
则，
令，
则，
当时，，当时，，
故，
所以当时，甲射击次数的期望最大．
19.解：因为，
所以，．
因为是上的凸函数，所以，
即当时，恒成立．
函数图象的对称轴为直线，
当，即时，只需时，即可，所以，
当，即时，只需时，即可，所以，
故．
解：因为，，所以，
因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即．
令，则．
当时，，则，单调递增
当时，，则，单调递减．
，所以，解得，
所以实数的取值范围是
证明：由知，因为在内有两个不同的零点，，
所以方程在内有两个根，，即．
因为在上单调递增，在上单调递减，所以．
欲证，即证．
因为且在上单调递减，
所以只需证明，即证
欲证，即证，即，
只需证，即证，而该式显然成立．
欲证，即证．
因为，所以只需证，
即证，即需证．
令，，则，
所以在上单调递增，
所以，则原不等式得证．
故．
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