2024-2025学年河南省青桐鸣大联考高二下学期期中考试数学试卷（人教版）（含答案）

2024-2025学年河南省青桐鸣大联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国新能源汽车产销量连续年居世界首位某客户欲购买一辆新能源汽车，已知品牌有种不同型号的汽车，品牌有种不同型号的汽车，品牌有种不同型号的汽车可供选择，则该客户不同的选择种数为( )
A. B. C. D.
2.已知服从两点分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，若，且，则公比( )
A. B. C. D.
4.的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知直线与圆相切，则( )
A. B. C. D.
6.某质检部门对一家超市中，，三种食品进行质量抽查，从这三种食品中任取一件，质量合格率为，据该超市反馈，，两种食品的质量合格率分别为，，且，，三种食品的件数之比为根据上述信息推断，种食品的质量合格率为( )
A. B. C. D.
7.将字母，，，，，排成一排，若要求，相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，为的中点，点为线段上的动点，则当点到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则下列等式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知随机事件，满足，，且，则下列结论正确的是( )
A. 事件，互相独立 B.
C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，有极大值 B. 当时，
C. ，恒成立 D. 当有且仅有两个零点时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是两个离散型随机变量，且，若，则 ．
13.现将一个、两个、三个排成一排，不同的排列方法有 种
14.已知抛物线的焦点到其准线的距离为，若等边三角形的边在轴的非负半轴上，与原点重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点在抛物线上，则 用含的式子表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知随机变量的分布列为
求实数的值
求的数学期望
设随机变量，求．
16.本小题分
已知．
求的值．
若．
(ⅰ)求的值
(ⅱ)求的展开式中含的项的系数．
17.本小题分
已知双曲线的右焦点为，过点的直线交的右支于，两点，当轴时，
求双曲线的离心率
若直线的倾斜角为，且经过点，为双曲线的左支上一动点，求面积的最小值．
18.本小题分
已知函数，
若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值
若在上单调递减，求实数的取值范围
证明：，．
19.本小题分
若随机变量，均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中，，，，．
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得分，不进球得分未抽中者不点球，得分，分数高者获胜，比赛结束已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立记甲得分为，乙得分为．
求，
求
已知随机事件发生了，求随机变量的分布列与数学期望．
参考答案
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15.解：由随机变量分布列的性质，得
，
解得．
．
，
因为，
所以．
16.解：令，，得；
令，，得 ，解得
的展开式的通项为 ， ，
所以，解得，
所以展开式中含 项的系数为 ．
17.解：由题意，时，．
因为当轴时，，所以，
所以，
所以，所以；
由题意，，，，双曲线，，
直线的倾斜角为，所以直线的方程为，
与双曲线方程联立，消去整理可得，
设，，，，
所以．
设与直线平行的直线方程为，与双曲线方程联立，
消去整理可得，
所以，所以，
当时，直线与的左支相切，符合题意
当时，直线与的右支相切，不符合题意，
则直线与直线之间的距离为，
故面积的最小值为．
18.解：对函数求导可得，
那么就是曲线在点处的切线斜率，将代入得，
已知直线的斜率为，
因为曲线在该点处的切线与直线垂直，
根据两垂直直线斜率之积为，
所以，解得
因为，对求导得；
由于在上单调递减，所以在上恒成立，
即，即在上恒成立；
设，对求导，则，
令，即，解得；
当时，，单调递增当时，，单调递减；
所以在处取得最大值；
那么，即，所以实数的取值范围是；
由可知，当时，在上单调递减，
令，，即当且仅当时取等号；
令，则；
；
因为．，且，
所以；
则，。
19.解：，的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，所以
，的情形为甲、乙均未进球，且甲抽到签，未进球，．
表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，则，
故．
表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，则，
又可能的取值为，，，
则，
则
，
则
，
则，
所以随机变量的分布列为
．
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