2024-2025学年湖北省武汉市七校高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市七校高一下学期4月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.的直观图如图所示，其中轴，轴，且，，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的大小为( )
A. B. C. D. 或
4.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
5.已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 棱台的侧面都是等腰梯形
B. 棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D. 以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
10.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥依据欧拉公式，下列说法中正确的是( )
A. 的模长为定值 B. 为纯虚数
C. 对应的点位于第二象限 D. 的共轭复数为
11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 函数为偶函数
D. 函数在区间上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是两个不共线的向量，向量若，则 ______．
13.已知、均为锐角，且，，则 ．
14.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在梯形中，，，．
若，求的长
若，求．
16.本小题分
已知向量．
若向量与共线，求实数的值；
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为．
求，，，的值；
盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，．
求外接圆的面积；
若，，求的周长．
19.本小题分
如图，在边长为的正三角形中，为的中点，，过点的直线交边与点，交边于点．
Ⅰ用，表示；
Ⅱ若，，求的值；
Ⅲ求的取值范围．
参考答案
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15.解：在中，由正弦定理得，
则．
因为，所以，
由余弦定理得，则，
所以．
16.解：因为，
所以，
，
因为向量与共线，
所以，
解得：
由 与的夹角是钝角，
则且与不共线反向，
由 ，
得，
解得，
若与共线，
得，无解，
故与不共线，
所以实数的取值范围是．
17.解：由题意知，振幅等于半径，即；
因为逆时针方向每分钟转一圈，所以，．
由题意．
因为时，，所以，所以．
又因为，所以；
由可得，．
令，得．
即，
所以；
所以，；
当时，最小，．
所以盛水筒出水后至少经过就可以到达最高点．
18.解：，
，
，
，
，
，
，
外接圆的半径，
外接圆的面积为．
由正弦定理得，，
，
，
，
在中，由余弦定理得，，解得，
则的周长为．
19.解：为中点，，
又，，；
若，，，，
，，，三点共线，
，；
由得，
，
，
，
由得，，
令，得，
，且由题可知，则有，又，
，则，，
，所以的取值范围为．
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