2024-2025学年河南部分校高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南部分校高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为
A. B. C. D.
2.已知，，点满足，则点的坐标是
A. B. C. D.
3.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则
A. B. C. D.
4.已知，，复数是关于的方程的一个根，则的值为
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
6.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
7.已知点是所在平面内一点，满足，则的形状是
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
8.已知的外接圆的半径为，，点满足，且，则的面积为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10.已知，为复数，则下列说法正确的是
A. 若，则 B. 若，则为实数
C. D. 若，则
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是
A.
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 若在线段上，且，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则________．
13.如图，矩形是水平放置的平面四边形的直观图，其中，，则原四边形的面积与周长的数值之比为________．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 ，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，已知复数，且为纯虚数．
求的值和；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知向量，．
求；
若向量，且，求的值；
求与垂直的单位向量的坐标．
17.本小题分
已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高为，求该正四棱台的体积；
已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求该圆锥的底面直径；
已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的球面上，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球的表面积和圆柱的体积．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且
求角的大小；
若，，点是边上的一点，且，求的长；
若是锐角三角形，，点为的中点，求的取值范围．
19.本小题分
设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题：
已知向量，满足，，，求的值；
若向量，满足，，求证：；
已知向量，，，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
因为为纯虚数，
所以，解得
则；
因为，
所以对应点的坐标为，
又复数在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
16.解：已知，则，
已知，所以，
所以．
已知，，
所以，
因为，所以，解得．
由题意，
设与垂直的单位向量为
因为是单位向量，所以，所以，
又因为，所以，即，
将代入中，得到，
解得，
当时，
当时，，
所以单位向量为或
17.解：由题意知该正四棱台的体积
设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，
所以解得，，
所以该圆锥的底面直径为．
设球的半径为，所以，
解得，
所以该球的表面积．
因为圆柱的底面直径和高都等于球的直径，所以圆柱的体积．
18.解：已知，整理得．
根据余弦定理可得：，
因为，所以．
因为，所以，
所以，
两边平方得，
则，
已知，，即，，且，，
所以，
则，
所以．
设，在中，由余弦定理可得，
因为点为的中点，所以在中，
，
因为是锐角三角形，，
所以，
解得
由正弦定理，，，
则，
因为，所以，则，
令，，函数的对称轴为，
当时，取得最小值当时，，
所以，则．
19.解：因为，所以，
而，，因此，．
因为，所以，，
因此．
证明：因为，，
所以，因此，，而，
所以，，
因此
．
解：因为，，，
所以由知：
，
当且仅当，即时，等号成立，
因此的最小值为．
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