2024-2025学年重庆市大一名校联盟高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市大一名校联盟高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4.小明用打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有种颜色可供使用，则有种不同的涂色方法
A. B. C. D.
5.若函数在上不单调，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.某单位在月日月日这天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理。现计划从名员工中每天派名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是( )
A. B. C. D.
7.孙子算经是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究设，，均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记若，且，则的值可以是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式，则下列说法正确的是( )
A. 展开式中二项式系数之和为
B. 展开式中有理项的个数为
C. 若，则展开式的常数项为
D. 若展开式中各项系数之和为，则
10.若函数的图象上至少存在两个不同的点，，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“类正交函数”下列函数中为“类正交函数”的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当且时，
B. 当时，若有两个极值点，则的取值范围是
C. 若满足，则的最小值为
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，若，则 ．
13.已知函数在点处的切线与二次函数相切，则实数 ．
14.在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母，，都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字，，中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中名男生与名女生。为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
全体站成一排，男生互不相邻
若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端
若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面．
16.本小题分
已知函数
求在处的切线方程
若函数有个不同的零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
礼嘉智慧公园旨在打造智能化体验示范区，将人工智能、大数据、物联网等现代信息技术与优美环境有机结合，从公园设施到衣食住行，多方面引领智慧新生活，让百姓切身感受科技的魅力。公园为了再次升级，拟将一块在半径为米的半圆形绿化地扩建成一个新型文化广场如图所示的阴影部分，同时为了拥有更好地体验试将该广场分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心设，新型文化广场的面积为．
求出新型文化广场的面积为关于的函数解析式
当角取何值时，新型文化广场的面积最大其最大面积是多少
18.本小题分
已知函数．
当时，求的展开式中二项式系数最大的项
若，且．
求的值
求的最大值．
19.本小题分
定义运算：，已知函数．
若时，求的极值
若，函数，证明：
设，证明：．
参考答案
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15.解：先将女生全排有种，
再从个空隙中选出个将个男生插入到个空隙中有种，
由分步乘法原理共有种排法；
若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，
则采用插空法，将其余的人排好，人中间有个空，
把甲乙当做一个整体插入，方法有种；
分四类：
当甲排在最右面，同时乙排在最左面：种
当甲排在最右面，乙不排在最左面：种
当甲不排在最右面，乙排在最左面：种
当甲不排在最右面，乙不排在最左面：种
总的方法为：种．
16.解：易知函数的定义域为，
所以，
则，
当时，，即切点为
所以切线方程为；
有题意知，转化为方程有个不等的实根，
即函数与直线图像上有个不同的交点
令，得或，令，得，
故函数在和上单调递增，在上单调递减，
即在时取得极大值，在时取得极小值
当时，，，即，
当时，，
当时，，
且在上单调递增，
由零点存在定理知，在上有唯一零点，
当时，，
结合题意函数图像如下图

17.解：由已知得，，
等腰底边上的高为，
所以
，
所以；
设，
则
，
令，由，可得，
令，可得，
故在上单调递增，在上单调递堿，
所以时，有，
所以，
即时，健康广场的面积最大，最大值为．
18.解：当时，的展开式共有项，
二项式系数最大的项为第三项或第四项，
所以或；
的通项公式为，
且，
所以，解得，又，
所以，
，
令，得或
的通项公式为 ， ，
设 为 中的最大值，则 ，
即 ，
即 ，


19.解：由题意知：当时，
，
当时，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，取得极小值无极大值；
，
要证，即证，即证，
令，
，
令，．
又，，，
所以，使得，即，
所以，，
所以当，，单调递减当，，单调递增．
所以，
又由知当时，恒成立，，，
，
又，所以，
故
即：，即；
由可知，，当且仅当时取等号．
等价于，当且仅当时取等号．
，
，
即．
则，
令，，所以，
在上单调递增，
，即，．
所以，
由得．
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