2024-2025学年安徽省A10联盟高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省A10联盟高二下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.用数字，，，，组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.已知离散型随机变量的分布列为下表，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球所有球除颜色外完全相同，某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. 展开式中所有项的二项式系数和为
B.
C. 展开式中系数最大的项为第项
D.
10.已知，为正整数，且，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若函数，则下列说法正确的是( )
A. 的极大值为
B. 有且仅有个零点
C. 点是曲线的对称中心
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的分布规律为，则 ．
13.已知两个随机事件，，若，，，则 ．
14.数列满足，，其中为函数的零点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某社团共有学生名，其中有名男生和名女生，现从中选出人去参加一项创新大赛列式表明计算过程，结果用数字表示
如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法
如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法
如果人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法
16.本小题分
某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖名同学，其中高一年级名，高二年级名，高三年级名，现从中任选人作为代表发言．
求选出的人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率
设表示选出的人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知函数，
当时，讨论函数的单调性
当时，函数有两个零点，求的取值范围．
18.本小题分
某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线米、米、米的，，三个位置分别投篮一次选手自行选择投篮顺序，在，，三个位置投篮命中分别可得分、分、分，总分不低于分就可以获得奖品已知甲在，，三处的投篮命中率分别为，，，且在这三处的投篮相互独立．
求甲未获得奖品的概率
在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率
甲参加投篮训练，训练计划如下：在处先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外在处投个球试问为何值时，甲投篮次数的期望最大
19.本小题分
在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
判断数列，，，，是否为“数列”，并说明理由
若，，试判断数列是否为“数列”，并说明理由
若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，，求数列的通项公式．
参考答案
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15.解：如果人中男生和女生各选人，
有种选法；
如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，
则再从剩下的人中任选人，有种选法；
如果男生中的甲与女生中的乙至少要有人在内，
包含两种情况，
第一种男生中的甲与女生中的乙必须在内有种，
第二种情况，甲乙仅有一人人在内，
有种选法，
故有种选法；
如果人中必须既有男生又有女生，
利用间接法，全选后，去掉只有男生和只有女生，
故有种选法．
16.解：记“选出的人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件．
若选出的人中有高一年级人，有种取法
若选出的人中有高一年级人，有种取法
所以．
由题意得，的所有可能取值为，，，．
，，
，．
所以的分布列为：
所以．
17.解：函数的定义域为，
，
令，解得，．
当时，，，，，，，
的单调递增区间为和，的单调递减区间为
当时，恒成立，在上单调递增
当时，，，，，，，
的单调递增区间为和，的单调递减区间为．
，
当时，，则在上单调递增，
，即，函数在上没有零点．
当时，，，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
要使得在上有两个零点，只需，
，解得．
综上，的取值范围为
18.解：甲三次投篮都命中的概率，
甲三次投篮只命中两次且总分不低于分的概率，
所以甲未获得奖品的概率为．
记“甲获得奖品”为事件，“甲三次投篮都命中”为事件．
在甲获得奖品的情况下，甲三次投篮都命中的概率为．
设甲的投篮次数为，则的分布列为
则．
令，则，
，当时，，当时，
所以，
故当时，甲投篮次数的期望最大．
19.解：由题意得，，，，，则，，，，是“数列”；
由，，得，，
由，得，
，不是“数列”．
设数列的公比为，
由，，得，
由，，得，
，解得．
由，得，，
由，得，
，
，
．
由，得，
则，
解得，
，，，．
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