2024-2025学年湖北省武汉市新洲区部分学校高一下学期4月期中质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市新洲区部分学校高一下学期4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为基底，设向量，，，若，，三点共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的纵坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是 ．
A. B. C. D.
5.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为( )
A. B. C. D.
6.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.设函数，，，则可以是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点过点的直线与边，分别交于点，，设，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部是 B. 的共轭复数是
C. D.
10.已知向量，，记向量，的夹角为，则( )
A. 若为钝角，则 B. 若为锐角，则
C. 当时，为直角 D. 当时，为平角
11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用图，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图若一半径为米的筒车水轮圆心距离水面米图，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，经过秒后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有( )
A. 关于的函数解析式为
B. 点第一次到达最高点需用时秒
C. 点再次接触水面需用时秒
D. 当点运动秒时，距水面的高度为米
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ．
13.已知，，，点在直线上运动，则的最小值为 ．
14.直线与曲线和曲线分别相交于点，．
若，则的最大值为
若的最大值为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，
求
求与的夹角余弦值
求向量在向量上的投影向量的坐标．
16.本小题分
已知复数，且和均为实数，其中是虚数单位．
求向量
若对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏
考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和
18.本小题分
已知，，函数．
求函数的解析式及对称中心
若，且，求的值
在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围．
19.本小题分
如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，．
设，，，求的范围
若，求的最小值
若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大若存在，求的长若不存在，说明理由．
参考答案
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13.
14.或
15.解：因为向量，满足，，
所以，
故；
因为，，
所以，
又，，
所以，
故与的夹角余弦值为；
因为，，
所以向量在向量上的投影向量坐标为．
16.解：设，则由为实数，，．
则由为实数，可得，
，
，
又在第四象限，
，
或．
故实数的取值范围是
17.解：，
解得，
所以，
当时，
，
当时，
故最长需要修建米的隔离防护栏；
，
当且仅当时取到等号，此时，
设，
在中，，
所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以周长的最大值为，此时，
故观赏步道，应均设计为长度是米
18.解：因为，，
所以，
即函数的解析式为，
所以对称中心的横坐标满足，，解得，，
所以函数的对称中心，
因为，所以 ，
即，
所以，即，
又由得，所以，，
又，
所以．
若，，即，
可得，，所以，解得，
由正弦定理可得：，即，，
所以，
即，
而在锐角三角形，，可得，，
所以，即，所以三角形的面积的取值范围为
19.解：由，，
故，，
则，
又矩形，
所以
，
由，故；
如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，

设，，
则，，
，
当且仅当，
即时，等号成立，
即的最小值为；
如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
由题意可得，，，即，
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即存在一点，使得最大，且此时．

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