2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高三（下）月考数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高三（下）4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若是实数，则实数( )
A. B. C. D.
3.随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
4.将编号为，，，的小球放入编号为，，，的小盒中，每个小盒放一个小球则恰有个小球与所在盒子编号相同的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若在上的投影向量的模为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在可观测的宇宙中，平均大约有亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是参考数据：( )
A. B. C. D.
7.古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线即的角平分线已知椭圆：上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，是侧面上的动点含端点，且满足，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则( )
A. B. 满足条件的有两个
C. 的最大值为 D. 的取值范围为
10.下列可能是函数其中，，的图象的是( )
A. B.
C. D.
11.已知抛物线与围成的封闭曲线，如图所示，设的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，则下列结论正确的是( )
A. 若，的焦点重合，则
B. 若，则与的准线之间的距离为
C. 设的焦点为，，上一点的纵坐标，则的最小值为
D. 若分别作曲线段，，，的切线，则存在，使得四条切线能围成矩形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则二项式展开式中常数项为______结果用数字作答
13.已知函数，若存在，，使得，则的最大值为______．
14.已知函数，若满足以下两个条件：
当时，；，，均有，则称为“优质函数”若函数是“优质函数”，则函数在上的单调性情况是______填“递增”、“递减”或“无单调性”；实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
在多面体中如图，底面为梯形，，，为的中点，，，四边形为矩形，平面平面．
求证：平面平面；
求三棱锥外接球的体积；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群数量较大进行试验，从该试验种群中随机抽查了只，得到如下的样本数据单位：只：
发病 没发病 合计
使用药物
没使用药物
合计
能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值
若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取只动物，记抽取的只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列、数学期望．
附：，其中．
18.本小题分
已知双曲线：经过点，一条渐近线方程为．
求双曲线的方程；
设为原点，若点是双曲线上的动点，点在直线，且．
求面积的最小值；
判断是否存在定圆与直线相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
求函数的在处的切线方程；
求证：当时，；
求证：．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.递增
15.解：当时，由得，
两式相减得，所以，
则数列是常数数列，则，
因为，所以；
证明：，可得，
所以，
两式相减行
，
所以，
因为，所以．
16.解：证明：因为四边形为矩形，
所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
由知平面，
平面，
所以，
所以的外心在的中点，
所以，所以平面，
，所以的外心在的中点，
所以点为三棱锥外接球的球心，
，，
所以外接球的半径，
则三棱锥外接球的体积为；
因为，平面，
所以以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为，
设，，，
则．
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
则，
因为，
又与平面所成角的大小为，
所以，
即，
整理得，所以，
此时点与点重合，
所以，
则．
综上：在线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为，此时的长度为．
17.解：零假设：该药物与预防该疾病无关，
根据列联表可得，，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即在犯错误的概率不超过的前提下，认为该药物与预防该疾病有关；
由于，
所以，，
所以，
由列联表中的数据可得，，
所以；
由题可知，抽取的只没发病的动物中使用该药物和没使用该药物的动物分别为人和人，
所以从没发病的动物中随机抽取只，抽取的是使用了该药物的概率为，
则由题意可知，，，，，且，
所以，，，，
所以随机变量的分布列为：
所以．
18.解：双曲线：经过点，
且一条渐近线方程为，
所以，
解得，
所以的标准方程为；
设，，
由点双曲线上的动点，则，
由于，则，
显然，可得，
且，，
所以
，
则当且仅当时，等号成立，；
由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上，
当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为，
由此猜想定圆为，
下面进行证明：
显然，直线，
即，
点到直线的距离为，
所以存在定圆与直线相切．
19.解：因为
，
所以切线斜率，又因为，则切点为，所以切线方程为；
证明：即证明，
则，且，，
当时，，
因为函数、在上均为减函数，
则在内单调递减，
又因为，，
所以使得，
且当时，，当时，，
此时在内单调递增，在内单调递减，
又，，故对任意的，，
则在内单调递增，所以，
综上，当时，得证；
证明：因为，所以，接下来证明，其中，
设，，
设，，
因为函数、在上均为减函数，
则在区间内单调递减，
因为，，
所以，使得，
当时，，当时，，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又因为，，，
所以，
使得，当时，；当时，，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
因为，，
所以在区间内恒成立，
令，所以，
所以，，，，，
所以，
对，，所以，
所以
，所以得证，
设，则，则在区间上单调递减，所以，
令，，所以 所以，
所以．
综上，．
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