北师大八下6.2.3平行四边形的判定3

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第六章 平行四边形
6.2.3平行四边形的判定3
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1．掌握平行线间的距离的概念及性质.
2．探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”.
3．能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明．
情景导入
1.平行四边形的性质
平行四边形对边平行；
平行四边形对边相等；
平行四边形对角相等；
平行四边形对角线互相平分；
平行四边形的对边平行且相等。
情景导入
2.平行四边形的判定
对边平行的四边形是平行四边形；
对边相等的四边形是平行四边形；
对角相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
情景导入
在笔直的铁轨上， 夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长 你能说明理由吗？与同伴交流．
核心知识点一：
平行线之间的距离
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
探索新知
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等．
结论：平行线间距离处处相等.
这个结论正确吗？
探索新知
已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D．
求证：AC = BD．
证明：∵ AC ⊥ b，BD ⊥ b，
∴ AC∥BD．
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形．
∴ AC = BD．
b
a
C
D
B
A
探索新知
归纳总结
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离都相等(如图：AB=CD),这个距离称为平行线之间的距离.
还记得点到直线的距离吗？平行线间的距离本质上就是点到直线的距离+平行线的判定与性质
数学表达式：
如图，A，C是l1上任意两点，
∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，
∴AB＝CD.
探索新知
A
B
思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？
a
b
A
B
点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离.
探索新知
若垂线段改为夹在两条平行线间的平行线段呢？它们是否相等呢？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知其围成的封闭图形为平行四边形，所以夹在两条平行线间的平行线段都相等.
探索新知
练一练：如图，已知l1∥l2，AB∥CD，HE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，则下列说法错误的是(　　)
A．AB的长就是l1与l2之间的距离
B．AB＝CD
C．HE的长就是l1与l2之间的距离
D．HE＝FG
A
探索新知
核心知识点二：
平行四边形性质与判定的综合运用
例：已知：如图，在□ ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE.
求证：四边形MENF是平行四边形.
探索新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴∠MDF=∠NBE.
∵ DM=BN，DF=BE，
∴△MDF≌△NBE.
∴MF=NE，∠MFD=∠NEB.
∴∠MFE=∠NEF.
∴MF∥NE.
∴四边形MENF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
探索新知
例：已知：如图，在ABCD中，E，F分别是边CD和AB上的点，AE//CF，BE交CF于点H，DF交AE于点G.
求证：EG=FH.
探索新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB//CD，∠FAD=∠ECB.
∵AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE. ∴△FAD≌△ECB(SAS). ∴∠AFD=∠CEB.
∵AB//CD，∴∠AFD=∠FDC. ∴∠FDC=∠CEB. ∴DF//BE.
又∵AE//CF，
∴四边形GEHF是平行四边形.
∴EG=FH.
探索新知
当堂检测
1.如图,已知 , , , ,下列说法错误的是( )
C
A．
B．
C．
D．
当堂检测
2.如图，在正方形 中， ， 是正方形
的外角， 是 的平分线 上任意一点，则
的面积等于( ) .
A
A．1 B．
C．2 D．无法确定
当堂检测
5.在同一平面内有三条直线a，b，c，如果a∥b，a与b的距离是2 cm，并且b上的点P到直线c的距离也是2 cm，那么b与c的位置关系是（ ）.
A.平行　　　　　B.相交 C.垂直 D.不能确定
6.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA＝3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BC∥OM，则CD的最小值是（ ）.
A.6 B.8 C.10 D.12
D
A
当堂检测
7.如图，在 中， ， 是 的中点， ， ，若 ， ，则四边形 的周长为___________.
8.如图，点 的坐标为 ，点 在 轴上，把
沿 轴向右平移到 ，若四边形 的面积为9，
则点 的坐标为______.
当堂检测
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
当堂检测
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(1)证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF.
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
当堂检测
(2)若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
(2)解：在Rt△ADE中，∵AD＝13，DE＝12，
∴AE＝＝＝5，
在Rt△CDE中，∵DE＝12，DC＝20，
∴CE＝＝＝16，
∴AC＝5＋16＝21，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACD＝2××21×12＝252.
1.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离；
2.平行线间的距离的性质：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等. 即：平行线间的距离处处相等．
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