北师大八下6.4.2多边形的内角和与外角和（2）

(共25张PPT)
第六章 平行四边形
6.4.2多边形的内角和与外角和（2）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1 了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角;
2 掌握多边形的外角和公式,能利用内角和与 外角和公式解决实际问题.
情景导入
1.七边形内角和为（ ）
900°
2.十边形内角和为（ ）
1440°
3.多边形内角和为1260°则它是（ ）边形。
九
4.多边形内角和为1800°则它是（ ）边形。
十二
情景导入
小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？你知道它们的和吗？
核心知识点一：
多边形的外角和
1.什么是三角形的外角？
A
B
C
1
如图，∠1是△ABC的外角
△ABC内角的一条边的反向延长线与另一条边组成的角，叫做△ABC的外角.
探索新知
2.什么是多边形的外角？
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做这个多边形的外角.
A
E
B
D
C
1
2
如图，∠1是五边ABCDE的外角
∠2是五边ABCDE的外角
∠1=∠2
探索新知
3.什么是多边形的外角和？
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
如图，∠1+∠3+∠5+∠7+∠9是五边形ABCDE的外角和
2
10
6
8
4
探索新知
如右图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
探索新知
把上面的问题抽象为数学问题，如右图.
上面的问题(1)中，小刚跑步方向改变的角实际分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.
上面的问题(2)中，小刚跑步方向改变的角共有5个，它们的和就是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和.
探索新知
小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是∠l，∠2，∠3，∠4，∠5.
∵∠1＋∠EAB＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠BCD＝180°，
∠4＋∠CDE＝180°，
∠5＋∠DEA＝180°，
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
探索新知
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD ＋
∠4＋∠CDE ＋∠5＋∠DEA＝900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°.
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
探索新知
思考：八边形的外角和呢？
1
2
3
5
6
7
4
8
你能猜测一下，n边形的外角和是多少度吗？
猜测：n边形外角和为360°
经过计算八边形外角和为
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°
探索新知
求证：n边形的外角和为360°
证明：n边形外角和=外角1+外角2+…+外角n
=n·180° -
=n·180° - (n-2)·180°
=360°
=(180°-内角1)
+(180°-内角2)
+…+(180°-内角n)
(内角1+内角2+…+内角n)
探索新知
归纳总结
多边形的外角和性质：
n边形外角和等于360 °.
注意：
1.由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的边数问题也可以转化为外角问题来解决．
2.n边形的外角和为3600，与边数无关
探索新知
例：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2) 180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
探索新知
当堂检测
1．七边形的外角和是(　 　)
A．180° B．360°
C．540° D．720°
2．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为(　 　)
A．360° B．540°
C．720° D．900°
B
C
当堂检测
3．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，则这个多边形是(　 　)
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
C
4．若一个多边形的内角和比它的外角和大540°，则该多边形的边数为(　 　)
A．4 B．5
C．6 D．7
D
当堂检测
5．设五边形的内角和等于a，六边形的内角和等于b，则a与b的关
系是(　 　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＝b＋180° D．b＝a＋180°
6．一个正n边形的每一个外角都是36°，则n的值为(　 　)
A．7 B．8
C．9 D．10
D
D
当堂检测
7．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，ED∥AB，则∠1的度数为(　 　)



A．55° B．45°
C．35° D．25°
B
当堂检测
8．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放． 如果∠3＝32°，那么∠1＋∠2＝______.
70°
当堂检测
9．一个多边形的内角和等于它的外角和的2.5倍，求这个多边形的边数．
解：∵多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的内角和是360°×2.5＝900°.
设这个多边形为n边形，
∴(n－2)×180°＝900°，
解得n＝7.∴这个多边形的边数为7.
当堂检测
10．凸多边形的每个外角都等于60°，求这个多边形的内角和．
解：设这个多边形的边数为n，
由n×60°＝360°，得n＝6.
由多边形内角和定理得
180°×(n－2)＝180°×(6－2)＝720°.
11．一个多边形的内角和与外角和的差为900°，求它的边数．
解：设边数为n，
则(n－2) 180°－360°＝900°，∴n＝9.
当堂检测
12．若一个多边形的每个内角都相等，它的一个内角比它相邻的外角大100°，求这个多边形内角和的度数和边数．
解：设这个多边形的一个内角为n°，
根据题意，得n－(180－n)＝100，解得n＝140.
故多边形的一个外角度数为180°－140°＝40°.
∵多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数为360°÷40°＝9，
内角和为(9－2)×180°＝1 260°.
故这个多边形的内角和的度数为1 260°，边数为9.
1.多边形的外角和为360°.
2.多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其
作用是：
①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
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